Introduction

Un nombre décimal est un nombre à virgule. Cette affirmation est vraie mais elle n'est pas suffisante ! Un nombre décimal a plusieurs écritures et propriétés que l'on doit connaitre.

Définition

A quoi ressemble un nombre décimal ? Commençons par définir ce qu'est un nombre décimal.

Un nombre décimal est un nombre réel qui peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Par exemple : 7,82 ou 940,3 ou encore 0,5489.

Les nombres décimaux servent à approcher un nombre réel qui n'admet pas un nombre fini de chiffres. Par exemple, on peut approximer pi par 3,14. On peut faire de même pour

    \[\sqrt{2}\]

et l'approcher à 1,41.

La partie avant la virgule s'appelle la partie entière et la partie après la virgule s'appelle la partie décimale. Ici, 7 est la partie entière de 7,82 et 82 est la partie décimale.

Un nombre qui n'a pas de partie décimale est un nombre entier.

La position d'un chiffre dans un nombre est importante comme nous le montre le tableau suivant

Partie entièreVirgulePartie décimale
Centaines de milleDizaines de milleUnités de milleCentainesDizainesUnitésDixièmesCentièmesMillièmesDix-millièmes
419,58

Il est important de connaitre le poids de chacun des chiffres. Prenons 419,58. On peut le placer dans le tableau pour comprendre.

4 est le chiffre des centaines, 1 celui des dizaines, 9 celui des unités. De même, 5 est le chiffre des dixièmes et 8 celui des centièmes.

Écriture en fraction décimale

Une fraction est la division non effectuée entre deux nombres. Le dénominateur d’une fraction est le nombre qui se trouve sous la barre de fraction et le numérateur est le nombre qui se trouve au dessus de la barre de fraction.

Tout nombre décimal peut s'écrire sous la forme d'une fraction. Mais il faut faire attention car l'inverse est faux. Une fraction ne peut pas toujours s'écrire sous forme d'un nombre décimal !

Par exemple,

    \[\frac{1}{3}=0,3333333...\]

Ce chiffre n'admet pas de nombre fini après la virgule. Ce n'est pas un nombre décimal.

Qu'est ce qu'une fraction décimale ? Il existe une autre écriture d'un nombre décimal : l'écriture en fraction décimale.

Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est 10 ou 100 ou 1 000, … et le numérateur un nombre entier. Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme d'une fraction décimale.

Parmi toutes les écritures en fractions décimales, on choisit celle qui permet d’avoir le numérateur entier le plus petit.

Par exemple,

    \[419,58=\frac{41958}{100}\]

ou encore

    \[7,987=\frac{7987}{1000}\]

A l'inverse, pour écrire une fraction décimale sous la forme d’un nombre décimal, il suffit d'effectuer la division du numérateur par le dénominateur. On peut voir ça plus simplement : on place la virgule dans le nombre situé au numérateur en s'assurant qu'il y ait autant de chiffres derrière la virgule que de 0 au dénominateur.

Par exemple,

    \[\frac{4257}{10}=425,7\]

Le nombre 10 admet un seul 0 donc on place la virgule dans 4257 telle qu'il y ait un seul et unique chiffre derrière la virgule.

Décomposition et représentation d'un nombre décimal

Un nombre décimal possède bien d'autres décompositions que celle en fraction décimale.

Regardons divers exemples en gardant pour nombre 419,58 :

  • En séparant partie décimale et partie entière 419,58 = 419 unités et 58 centièmes

        \[419,58=419+0,58=419+\frac{58}{100}\]

  • En utilisant le poids de chaque chiffres

        \[419,58=(4\times100)+(1\times10)+(9\times1)\]

        \[+(5\times0,1)+(8\times0,01)\]

        \[=(4\times100)+(1\times10)+(9\times1)\]

        \[+(5\times \frac{1}{10})+(8\times \frac{1}{100})\]

  • En écrivant le nombre en lettres : quatre cent dix-neuf virgule cinquante-huit.

Maintenant que les décompositions sont claires, on va pouvoir représenter les décimaux sur une demi-droite graduée. Pour graduée une demi droite, on choisit un point d'origine, qui représente le 0, et une échelle c'est à dire une unité.

Pour graduer au dixième une demi droite, on partage l'unité en 10 segments égaux. De même, en partageant un dixième en dix on obtient un centième, etc....

Par exemple, nous avons ici diviser en 10 parts égales l'unité comprise entre les chiffres 2 et 3.

Lorsque l'on mesure avec une règle, il est difficile d'obtenir une valeur juste et précise. Ainsi, on donne pour résultat le nombre décimal qui nous semble le plus précis.

Ordonner les décimaux

Pour ordonner des nombres, il faut savoir les comparer. Pour comparer deux nombres, il faut identifier s'ils sont égaux ou si l'un est plus grand que l'autre.

Il faut faire attention, car deux nombres écrits différemment peuvent être égaux. Un exemple possible est

    \[7,4=7,400=\frac{74}{10}\]

.

Regardons les nombres en écriture décimale. On peut facilement comparer les décimaux. Par exemple, 7 est plus petit que 7,4. On note 7<7,4. A l'inverse, 8 est plus grand que 7,4. On note 8>7,4.

Ainsi, on peut encadrer le nombre 7 entre deux entiers consécutifs : 7<7,4<8. On aurait aussi pu écrire 8>7,4>7, mais souvent, on préfère encadrer on plaçant le nombre le plus petit à gauche et celui le plus grand à droite.

On peut faire des encadrements plus précis : 7,4<7,42<7,49.  Ces trois nombres ont tous autant d'unités et de dixièmes. Cet encadrement est vrai puisque 7,4 ne possède aucun centième, 7,42 possède 2 centièmes et 7,49 en possède 9.

En général, on souhaite ordonner des nombres soit dans l'ordre croissant, soit dans l'ordre décroissant.

Rangeons 12,1 ; 4,2 ; 6 ; 8,1 dans l'ordre croissant. Cela consiste à les ranger du plus petit au plus grand : 4,2<6<8,1<12,1.

Maintenant, rangeons 9,8 ; 9,5 ; 3 ; 7,2 dans l'ordre décroissant. Cela consiste à les ranger du plus grand au plus petit : 9,8>9,5>7,2>3.

Opérations sur les décimaux

Regardons comment effectuer les quatre opérations élémentaires sur les décimaux.

L'addition et la soustraction de décimaux sont simples. On effectue le calcul normalement en laissant la virgule entre dixièmes et unités.

Commençons par l'addition.

Par exemple,

    \[7,41+5,282=7,410+5,282=12,692\]

Comme pour une addition classique, on commence par additionner les millièmes, puis les centièmes, puis les dixièmes, etc.. en faisant attention aux retenues !

Il en est de même pour la soustraction. Regardons un exemple :

    \[7,41-5,282=7,410-5,282=2,128\]

Intéressons nous maintenant à la multiplication. Pour multiplier les décimaux, on effectue d'abord la multiplication en ignorant les virgules. Ensuite, on compte le nombre total de chiffres placés derrières les virgules des deux facteurs. Dans le résultat, on s'assure de placer la virgule de sorte qu'il y est autant de nombre derrière la virgule.

Calculons

    \[7,41\times5,282\]

On a

    \[741\times5282=3913962\]

Le total des chiffres placés derrières les virgules des deux facteurs est 5. Il y a deux chiffres derrière la virgule dans 7,41 et trois dans 5,282.

Ainsi, on a

    \[7,41\times5,282=39,13962\]

Enfin, regardons la division d'un nombre décimal par un nombre entier.

On pose notre division comme dans les nombres entiers. Lorsque l'on arrive à la partie décimale du dividende on met une virgule au quotient.

Supposons

    \[7,41\div5\]

  On divise 7 par 5. On note 1 au quotient et 2 au reste. Il nous faut donc ensuite diviser par 5 le nombre 24. Comme on a atteint la partie décimale on met la virgule au quotient puis on effectue notre calcul. On a donc 1,4 au quotient et 4 au reste. On continue notre division normalement. On obtient finalement

    \[7,41\div5=1,482\]

Regardons un autre exemple :

    \[52,6\div3\]

On effectue normalement notre division, 52 divisé par 3 vaut 17 et il reste 1. On atteint ensuite la partie décimale. On note la virgule au quotient. On effectue la division suivante : 16 divisé par 3. Cela fait 5 et il reste 1. La division suivante donne 10 divisé par 3 et on obtient 3 avec un reste de 1. Toutes les divisions successives suivantes donnent 1. Ainsi, il n'y a pas de résultat exact sous forme décimale à cette division. On peut seulement noter une valeur approchée :

    \[52,6\div3\approx17,53\]

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Elise

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