Puissance

Comment définir de très grands nombres ? La puissance permet de définir l'infiniment grand

Définition

La puissance d'un nombre est le résultat de la multiplication répétée d'un nombre avec lui-même. On le note a^{n} ou a^n avec a un nombre entier et n le nombre de fois dont le nombre a été multiplié par lui-même.

Par exemple : 2*2*2*2*2*2 = 2^{6} car on a multiplié six fois le chiffre deux par lui-même.

Lorsque n est un nombre entier négatif, cela correspond à une fraction dont le dénominateur est la puissance avec l'opposé de n.

Par exemple 2^{-6} = \frac{1}{2^{6}} = \frac{1}{2*2*2*2*2*2}

Il est possible de combiner différentes puissances lors d'un calcul avec plusieurs multiplications ensemble. Par exemple : 2*3*2*2*4*2*2*3 = 2^{5}*3^{2}*4

Propriété

Les puissances régissent à différentes propriétés. Soient a,b,n,m quatre nombre entiers.

Type de formuleFormule
Multiplication de puissancea^(m)*a^(n) = a^(m+n)
Division de puissancea^(m)/a^(n) = a^(m-n)
Puissance d'une puissance(a^(m))^n = a^(m*n)
Propriété de la parenthèse(a/b)^(m) = a^(m) / b^(m)
Puissance par 0a^(0) = 1

Remarque : La notation a^{0} est égale à 1 par convention. Quelque soit la valeur du nombre, la puissance par 0 sera toujours égale à 1.

Exercices corrigés

Exercices

Exercice 1 : Ecrire sous forme de puissance les calculs suivants.

  1. 6*6*6*6*6*6
  2. 5*4*4*4*5*4
  3. 2*3*3*3*1*4*4*4*3*2
  4. 5*2*3*5*2*3*5

Exercice 2 : Simplifier les puissances suivantes

  1. 3^{5}*3^{4}
  2. \frac{3^{5}}{3^{4}}
  3. (\frac{2}{3})^{3}
  4. 3^{5}*2^{3}*3^{4}*2
  5. 3^{-5}*2^{3}*3^{2}*2
  6. \frac{2*5^{4}}{3*5^{2}}

Exercice 3 : Simplifier les puissances suivantes.

  1. (3^{5})^{4}
  2. (5^{-2})^{3}
  3. (3^{2})^{3}*(4^{3})^{2}
  4. \frac{(5^{-2})^{3}}{(5^{2})^{2}}

Corrigé

Exercice 1 :

1. 6*6*6*6*6*6 = 6^{6} car on multiplie 6 fois le nombre 6 par lui-même

2. 5*4*4*4*5*4 = 5^{2}*4^{4} car on multiplie 2 fois 5 par lui-même et 4 fois 4 par lui-même.

3. 2*3*3*3*1*4*4*4*3*2 =  1*2*2*3*3*3*3*4*4*4 =  1*2^{2}*3^{4}*4^{3}

4. 5*2*3*5*2*3*5 = 2^{2}*3^{2}*5^{3}

 

Exercice 2 :

1. 3^{5}*3^{4} = 3^{5+4} = 3^{9}

2. \frac{3^{5}}{3^{4}} = 3^{5-4} = 3^{1} = 3

3. (\frac{2}{3})^{3} = \frac{2^{3}}{3^{3}}

4.3^{5}*2^{3}*3^{4}*2 = 3^{5}*3^{4}*2^{1}*2^{3} = 3^{9}*2^{4}

5.3^{-5}*2^{3}*3^{2}*2 = 3^{-5+2}*2^{3+1} = 3^{-3}*2^{4}

6. \frac{2*5^{4}}{3*5^{2}} =  \frac{2}{3}*5^{4-2} = 5^{2}*\frac{2}{3}

 

Exercice 3 :

1. (3^{5})^{4} = 3^{5*4} = 3^{20}

2. (5^{-2})^{3} = 5^{-2*3} = 5^{-6}

3. (3^{2})^{3}*(4^{3})^{2} = 3^{2*3}*4^{3*2} = 3^{6} * 4^{6}

4. \frac{(5^{-2})^{3}}{(5^{2})^{2}} = \frac{5^{-2*4}}{5^{2*2}} = \frac{5^{-8}}{5^{4}} = 5^{-8-4} = 5^{-12}

Ecriture Scientifique

Théorie

La multiplication par la puissance de 10 est une notation scientifique permettant de représenter des nombres extrêmement grand ou extrêmement petit. En effet, lorsque le nombre devient très important, cela devient difficile de lire facilement le nombre et d'en estimer un ordre de grandeur.

Par exemple, la distance terre soleil est de 149,6 millions de kilomètres soit 149 600 000 km ou 149 600 000 000 mètres. A l'inverse, la distance entre un atome et un électron est de 0,000 000 000 01 mètres.

Afin d'éviter de devoir ainsi écrire à chaque fois des nombres très long, on va utiliser les puissances et notamment les puissances de 10.

Méthode

Pour obtenir des chiffres élevés ou très faibles bien plus lisibles, on va réduire le nombre de 0 en multipliant par des puissances de 10.

Par exemple, si l'on prends le chiffre 500, on peut faire la multiplication suivante : 500 = 5 * 100 = 5*10^{2}. Si l'on revient au cas présenté dans le paragraphe théorie, on peut faire de même.

La distance terre soleil en kilomètre est égale à 149 600 000km. On cherche la multiplication appropriée :

149 600 000 = 1 496 * 100 000 = 1 496*10^{5}. On rends ainsi le chiffre plus lisible.

A l'inverse, lorsque l'on traite pour de l'infiniment petit, la multiplication s'effectue avec des puissances de 10 négatives.

Pour mesurer la distance  entre un atome et un électron, on va effectuer la multiplication pour les distances :

0,000 000 000 01 = 1*\frac{1}{10000000000} = 1*\frac{1}{10^10} = 1*10^{-10}

On utilise la même méthode quel que soit l'ordre de grandeur de la distance à mesurer.

Ecriture scientifique

On a vu dans le paragraphe précédent comment transformer des nombres en puissance de 10. Seulement les résultats que l'on a obtenu ne sont pas harmonisés. La science a besoin de connaitre rapidement en un coup d’œil les différents ordres de grandeurs. Les ordres de grandeurs correspondent aux valeurs des puissances de 10. Par exemple, il est difficile d'estimer quel nombre est le plus grand entre 1 496*10^{5}  et 2*10^{7}.

Pour harmoniser l'ensemble des nombres, l'écriture scientifique est constituée de la manière suivante :

  • Un partie entière : un nombre entier compris entre 0 et 9.
  • Une partie décimale : une quantité de nombres décimaux selon le degré de précision désiré
  • Une puissance : la multiplication par la puissance de 10 adéquate.

Comment noter les nombres en écriture scientifique ? Composition des puissances pour l'écriture scientifique

Si l'on reprend nos deux exemples précédents avec la distance terre soleil et celle entre un atome et un électron :

149 600 000 = 1 496 * 100 000 =  1 496*10^{5} = 1,496*10^{3}*10^{5} =  1,496*10^{8} metres.

On a bien une partie entière égale à 1, une partie décimale égale à 496 et une multiplication par une puissance de 10.

Concernant la distance atome / électron, la notation du résultat était déjà bien écrite en écriture scientifique.

Ordre de grandeur

Une fois les notations scientifiques exprimées, on peut comparer les différents ordres de grandeur entre deux nombres. On considère en mathématiques que lorsqu'un nombre est plus de 100 fois inférieur à un autre, on dit qu'il est très inférieur à l'autre et on le note <<. Par exemple, 10 << 2000.

Lorsque un nombre est plus de 10 000 fois inférieur à un autre, on considère que ce dernier est négligeable. Son impact ne va pas changer la problématique. En mathématiques, ce concept est très utilisé lors du calcul des limites. En physique, on utilise les ordres de grandeur pour mesurer les différents effet d'un produit ou d'un phénomène.

Par exemple, la consommation électrique globale en France à une heure donnée est égale à 474 Twh = 474*10^{12} Twh = 4,74*10^{14} watt par heure. En comparaison, la consommation d'une ampoule est de 60 watt / heure = 6 *10 watt/heure. En comparant l'un avec l'autre on obtient un écart égal à 10^{13} soit 10 000 000 000 000 fois plus. La consommation d'une ampoule est donc largement négligeable par rapport à la consommation en France. Laisser votre lumière allumée ne changera donc pas la consommation électrique française.

Qu'affiche la calculatrice avec les puissances ? La calculatrice affiche le résultat sous forme de puissance lorsque la valeur est trop grande.

Exercices corrigés

Exercices

Exercice 1 : Cours d'histoire

Retracer les éléments suivants avec les puissances de 10. Chacune des valeurs doit être écrite en écriture scientifique avec le nombre d'années.

1. L'extinction des dinosaures a eu lieu il y a 65 millions d'années.

2. La création de l'univers a eu lieu il y a 15 milliards d'années.

3. La naissance du soleil a eu lieu il y a 5 milliards d'années.

4. Christophe Colomb a découvert l'Amérique il y a environ 500 ans.

5. Le feu a été domestiqué depuis environ 600 mille ans.

 

Exercice 2 : Mesure de distance

Comment appréhender les différentes distances ? Comparaison des différentes distances dans l'univers

Exprimer chacune des distances suivantes en mètres en écriture scientifique.

1. Une feuille de papier mesure environ 1 dix millième de mètre.

2. Une pièce de monnaie fait environ 27 millimètres d'épaisseur

3. Un virus mesure environ  0,005 millimètres.

4. Un unique cheveu a une taille d'environ 0,00025 millimètres.

5. Une double hélice d'ADN mesure environ 0,0000001 centimètre.

6. L'arbre le plus haut du monde mesure la hauteur vertigineuse de 115,5m.

7. La hauteur de l'everest (plus haute montagne du monde) est de 8848 m.

8. Le rayon du système solaire est de 18 milliards de kilomètres.

9. Une année lumière est la distance parcourue par la lumière en une année, elle équivaut à 9 460 800 000 000 km.

10. La voie lactée a une épaisseur de 1 500 années lumières.

 

Corrigé

Exercice 1 : Cours d'histoire

1. L'extinction des dinosaures : 65 millions d annees = 65 000 000 années = 65*10^{6} annees = 6,5*10^{7} annees.

2. La création de l'univers : 15 milliards d annees = 15 000 000 000 annees = 15*10^{9} annees = 1,5*10^{10} annees.

3. La naissance du soleil : 5 milliards d annees = 5 000 000 000 annees = 5*10^{9} annees.

4. La découverte de l'Amérique : 500 ans = 5*10^{2} ans.

5. La domestication du feu : 600 mille ans = 600 000 ans = 6*10^{5} ans

 

Exercice 2 : Mesure de distance

1. Une feuille de papier : 1 dix milleme metre = \frac{1}{10000} metres = \frac{1}{10^{5}} metres= 10^{-5} metres

2. Une pièce de monnaie : 27 millimetres = 27*10^{-3} metres = 2,7*10^{-4} metres

3. La taille d'un virus : 0,005 millimetres = 0,005 *10^{-3} metres= 5*10^{-3}*10^{-3} metres = 5*10^{-6} metres

4. Un unique cheveu : 0,00025 millimetres = 2,5*10^{-4} millimetres = 2,5*10^{-4}*10^{-3} metres = 2,5*10^{-7} metres

5. Une double hélice d'ADN : 0,0000001 centimetre = 1*10^{-7} centimetre = 1*10^{-7}*10^{-2} metre = 1*10^{-9} metre

6. L'arbre le plus haut du monde : 115,5 metres = 1,155*10^{2} metre

7. La hauteur de l'everest : 8848 metres = 8,848*10^{3} metres

8.Le rayon du système solaire : 18 milliards de kilometres = 18 000 000 000 kilometres = 18*10^{9} kilometres =  18*10^{9}*10^{3} metres = 18*10^{12} metres =  1,8*10^{13} metres

9. Une année lumière : 9 460 800 000 000 km = 9 460,8*10^{9} km =  9,4608*10^{12} km = 9,4608*10^{12}*10^{3} metres =  9,4608*10^{15} metres

10. La voie lactée : 1 500 années lumières = 1500 * 9,4608*10^{15} metre = 1,5*10^{3}*9,4608*10^{15} =  1,5*9,4608*10^{18} metres = 14,1912*10^{18} metres =  1,41912*10^{19} metres

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