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  • Figures planes
  • Droites remarquables d’un triangle
  • Triangle : milieux et parallèles
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Introduction

En classe de quatrième, la représentation d'objets géométriques usuels
du plan et de l'espace, le calcul de grandeurs attachées à ces objets
demeurent des objectifs majeurs. S'y ajoutent de nouvelles
caractérisations pour certains d'entre eux (triangle rectangle, cercle,
bissectrice).

Dans le plan, les travaux portent sur les figures
usuelles déjà étudiées (triangle, cercle, quadrilatères particuliers),
pour lesquelles il est indispensable de continuer à faire fonctionner
les résultats mis en place.

L'étude plus approfondie du triangle rectangle et d'une
nouvelle configuration (celle de triangles déterminés par deux droites
parallèles coupant deux sécantes) permet d'aborder quelques aspects
numériques fondamentaux de la géométrie du plan.

Certaines propriétés géométriques d'un agrandissement
ou d'une réduction d'une figure sont également étudiées. L'effet sur
les aires et les volumes n'est abordé qu’en classe de troisième.

Les activités de découverte, d'élaboration et de
rédaction d'une démonstration sont de natures différentes et doivent
faire l'objet d'une différenciation explicite. Le travail sur la
caractérisation des figures usuelles est poursuivi, en veillant à
toujours la formuler à l'aide d'énoncés séparés.

Dans l'espace, les travaux sur les solides étudiés exploitent largement les résultats
de géométrie plane.

Compétences exigibles

Construire les bissectrices, les hauteurs, les médianes,
les médiatrices d’un triangle ; en connaître une définition et savoir
qu’elles sont concourantes.

Bissectrices et cercle inscrit

  • Caractériser les points de la bissectrice d'un angle donné par la propriété d'équidistance aux deux côtés de l'angle.
  • Construire le cercle inscrit dans un triangle.

Commentaires

Connaître et utiliser les théorèmes suivants relatifs aux milieux de deux côtés d'un triangle :

  • Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, elle est parallèle au troisième côté.
  • Dans un triangle, si une droite passe par le milieu

    d'un côté et est parallèle à un second côté, elle coupe le troisième

    côté en son milieu.

  • Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.

Ces théorèmes peuvent être démontrés en utilisant la symétrie centrale
et les propriétés caractéristiques du parallélogramme ou les aires.

Concernant les bissectrices

Cette caractérisation permet de démontrer que les trois bissectrices
d'un triangle sont concourantes et justifie la construction du cercle
inscrit. L'analogie est faite avec le résultat concernant les
médiatrices des trois côtés du triangle vu en classe de cinquième.

Médiatrice d’un segment

A. Définition :

On appelle médiatrice d’un segment la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.

La droite (d) est perpendiculaire au segment [AB] en son milieu, la droite (d) est donc la médiatrice du segment [AB]

B. Propriété 1 :

La médiatrice d’un segment est un axe de symétrie de ce segment.

C. Propriété 2 :

Si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors il est situé à égale distance des extrémités de ce segment.Le point E appartient à la médiatrice du segment [AB] donc le point E est équidistant des points A et B.

D. Propriété 3 :

Si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

Si le point E est équidistant des points A et B, alors le point E appartient à la médiatrice du segment [AB].

E. Construction de la médiatrice d’un segment :

On trace deux arcs de cercle, de même rayon, et de
centres les extrémités du segment. Ils se coupent en deux points
appartenant à la médiatrice de ce segment.

F. Médiatrices dans un triangle

Les médiatrices d'un triangles sont concourantes en un point: le centre du cercle circonscrit au triangle.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !