1- La racine carrée d’un nombre :

Définition :

Soit a un nombre positif.
On appelle Racine Carrée de a notée . le nombre positif dont le carré est égal à a. C'est à dire :

Exemple :

-9 n’a pas de sens car –9 est un nombre négatif

application :

A l’aide de la calculatrice calculer

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2- Le théorème de Pythagore:

2.1. Partie directe :

Théorème de la partie directe :

Soit un triangle ABC,

Si un triangle ABC est rectangle en A

ALORS


BC²=AB²+AC².
(hypoténuse)²=(coté1)²+(coté2)²


Preuve avec un trapèze :

Une des démonstrations de la partie directe du théorème de Pythagore.
Soit un triangle ABC rectangle en A,
montrons que BC² =AB² + AC².
Dans la figure ci-dessous, ABDC est rectangle de sens direct.

On pose BC = a, AC = b et AB = c.

On considère le quart de tour de centre B (rotation de 90°)
qui transforme le triangle BCD en le triangle BC'D’.
Évidemment le triangle CBC' est rectangle en B 'car rotation de 90°).
Les points A, B et D’sont alignés
et le quadrilatère AD’C'C est un trapèze.
En traduisant de deux manière l'aire de ce trapèze :

aire (AD’C'C) =aire (ABC) + aire (CBC') + aire (BC'D’)

En multipliant par deux chaque membre de l'équation, nous obtenons :
(b+c)²=a²+2bc
(b+c)(b+c)=a²+2bc (voir chapître caclcul littéral...)
b²+bc+bc+c²=a²+2bc
b²+2bc+c²=a²+2bc

En simplifiant par 2bc dans les deux membres,
Nous obtenons au final :
a² = b² + c²
soit BC² = AC² + AB²

Remarque :

la partie directe du théorème de Pythagore, nous permet de déterminer une longueur du triangle connaissant les deux autres.

Signification géométrique :


BC²=AB²+AC²
L’aire du carré de coté [BC] est égale à la somme des aires des carrés de coté [AB] et [AC]

 

2.2.- La réciproque du théorème de Pythagore.

B

Th de la partie réciproque :

Soit un triangle ABC.


Si BC²=AB²+AC² ALORS le triangle ABC est rectangle en A.

 

Th de la partie contraposée :

 


Soit un triangle ABC tel que BC est la plus grande longueur Si BC²=AB²+AC² ALORS le triangle ABC est rectangle en A.

Remarque :

la réciproque et la contraposée du théorème de Pythagore, nous permettent de déterminer si un triangle est rectangle connaissant les trois mesures de ses cotés.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !