Définition

Comment dessiner un plan orthonormé ? Points dans un plan orthonormé

Soient A et B deux points d'un plan. Le passage du point A vers le B correspond à une translation avec les propriétés suivantes :

  • Une direction : La direction est représentée par la droite (AB)
  • Un sens : De A vers B
  • Une norme : La longueur du segment [AB]

Nous avons ici effectué la translation à un point. Le point translaté est appelé l'image du point.

Il est cependant possible d'effectuer une translation sur n'importe quel type de graphe. On peut donc faire une translation d'une droite, d'un triangle, d'un quadrilatère ou n'importe quel autre type de figure. Dans ces cas la, il suffit simplement d'effectuer la translation de chacun des points.

Translation sur un plan orthonormé

Pour réaliser la translation sur un plan, on utilise le repère orthonormé. Il suffit alors d'effectuer la translation en fonction des valeurs des points.

Par exemple, on souhaite effectuer la translation du point P de T(-4,3). Pour trouver l'image du point P, on effectue alors pour x : 5-4 = 1 et pour y : 3+3 = 6. On obtient donc l'image du point P, P'(1,6).

On considère désormais la droite QP tel que Q(-4,2) et P(5,3). On souhaite réaliser la translation de la droite QP de T(x+3,y-3).

Pour obtenir la translation de la droite QP, on effectue la translation de chacun des deux points Q et P. On considère que l'image de la droite QP est égale à la droite Q'P'.

On a donc Q'(-4+3,2-3) et P'(5+3,3-3), d'où Q'(-1,-1) et P'(8,0).

Remarque : Attention, la translation est différente de la symétrie.  Concernant la symétrie, les ensembles de points ne sont pas translatés de la même longueur. On retrouve cependant quelques similarités (cours de math 3eme) :

  • La symétrie à l'instar de la translation conserve les longueurs : un segment de longueur AB aura la même longueur en tant que symétrique et en tant que translaté.
  • Les angles sont conservés.

 

Construction d'un parallélogramme

La translation permet de construire des parallélogrammes. En effet, à partir d'une droite et en effectuant la translation de cette même droite, on peut construire un parallélogramme (cours de math).

En effet, la translation de la droite permettra de construire une droite parallèle à cette dernière et qui conservera la longueur, la direction et le sens. Une fois ces deux droites construites, il suffit alors simplement de finir la construction du parallélogramme,  en reliant les deux droites.

Comment créer un parallélogramme via la translation ? Translation d'une droite en parallélogramme

Concernant l'image ci-dessus, on construit la translation du vecteur AB. La translation de ce vecteur permet de construire le vecteur CD. Ce dernier est parallèle au vecteur AB et conserve la même longueur le même sens et la même direction. Il reste par la suite seulement à relier les points A et C et les points B et D. On obtient ainsi le parallélogramme :

  • Les angle \widehat{BAC} et \widehat{CDB} sont égaux ainsi que les angles \widehat{ABD} et \widehat{ACD} (les angles opposés)
  • Les deux cotés parallèles sont de même longueur
  • Les diagonales se coupent en leur milieu
  • Les deux angles consécutifs sont supplémentaires (la sommes des angles consécutifs est égale à 180°)

Rotation et translation

Lorsque l'on fait tourner une figure autour d'un même point, on considère que c'est une rotation. Cependant, on peut également visualiser cette rotation comme étant une translation. On effectue pour la rotation une translation par rapport à un angle qui sera compris entre 0 et 360°.

Comment réaliser une rotation ? Rotation d'un triangle

En considérant les points ABC du triangle en commençant par en bas à gauche, on a effectué la translation des points B et C à partir du point A.

Exercices Corrigés

Exercices

Exercice 1 : Les rotations

Comment dessiner des translations ? Schéma de la figure

Compléter les éléments manquants :

1. En construisant l'image du point A par la rotation de centre B et d'angle 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, on obtient le point ...

2. En construisant l'image du point B par la rotation de centre ...  et d'angle 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, on obtient le point D

3. En construisant l'image du point ... par la rotation de centre D  et d'angle 90° dans le sens des aiguilles d'une montre, on obtient le point C

4. En construisant l'image du point A par la rotation de centre O  et d'angle 90° dans le sens des aiguilles d'une montre, on obtient le point ...

5. En construisant l'image du point ... par la rotation de centre O  et d'angle 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, on obtient le point B

6. En construisant l'image du point D par la rotation de centre O  et d'angle ... dans le sens des aiguilles d'une montre, on obtient le point B

7. En construisant l'image du triangle OAB par la rotation de centre O  et d'angle 90° dans le sens des aiguilles d'une montre, on obtient le triangle ...

8. En construisant l'image du triangle ... par la rotation de centre O  et d'angle 180° dans le sens des aiguilles d'une montre, on obtient le triangle BCD.

9. En construisant l'image du triangle AIO par la rotation de centre I  et d'angle 180° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, on obtient le triangle OIB.

 

Exercice 2 : Parallélogramme

Soit la droite AB telle que A(3,6) et B (2,4). On effectue la translation de la droite AB tel que T(x+3,y+2).

1. Construire la droite CD image de la droite AB par la translation T.

2. Déterminer la longueur des droites AB et CD.

3. Déterminer la longueur des AC et BD.

 

Corrigé

Exercice 1 :

1. En construisant l'image du point A par la rotation de centre B et d'angle 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, on obtient le point C.

2. En construisant l'image du point B par la rotation de centre C  et d'angle 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, on obtient le point D.

3. En construisant l'image du point A par la rotation de centre D  et d'angle 90° dans le sens des aiguilles d'une montre, on obtient le point C.

4. En construisant l'image du point A par la rotation de centre O  et d'angle 90° dans le sens des aiguilles d'une montre, on obtient le point D.

5. En construisant l'image du point C par la rotation de centre O  et d'angle 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, on obtient le point B.

6. En construisant l'image du point D par la rotation de centre O  et d'angle 180° dans le sens des aiguilles d'une montre, on obtient le point B.

7. En construisant l'image du triangle OAB par la rotation de centre O  et d'angle 90° dans le sens des aiguilles d'une montre, on obtient le triangle OBC

8. En construisant l'image du triangle DAB par la rotation de centre O  et d'angle 180° dans le sens des aiguilles d'une montre, on obtient le triangle BCD.

9. En construisant l'image du triangle AIO par la rotation de centre I et d'angle 180° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, on obtient le triangle OIB.

 

Exercice 2 :

1. On obtient le point C(3+3, 6+2) et D(2+3,4+2). D'où C(6,8) et D(5,6).

2. Pour calculer la longeur des droites AB et CD on utilise la formule suivante :

[AB] = \sqrt{(x_{b}-x_{a})^{2} + (y_{b}-y_{a})^{2}}

D'où [AB] = \sqrt{(2-3)^{2} + (4-6)^{2}} = \sqrt{(-1)^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{(1+4)} = \sqrt{5}

La translation d'une droite conserve la distance, donc en toute logique la valeur de la longueur CD reste la même. Vérifions ce résultat par le calcul :

[CD] = \sqrt{(x_{d}-x_{c})^{2} + (y_{d}-y_{c})^{2}}

= \sqrt{(5-6)^{2} + (6-8)^{2}} = \sqrt{(-1)^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{(1+4)} = \sqrt{5}

[CD] a bien la même valeur que [AB].

3. Comme précédemment, nous avons simplement besoin de calculer une seule longueur pour connaitre l'autre :

[AC] = \sqrt{(x_{c}-x_{a})^{2} + (y_{c}-y_{a})^{2}}

= \sqrt{(6-3)^{2} + (8-6)^{2}} = \sqrt{(3)^{2} + (2)^{2}} = \sqrt{(9+4)} = \sqrt{13}

Par définition, la droite [BD] est égale à 13.

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