Equation du premier degré à une inconnue:

Equations de référence

1. L'équation a + x = b a pour solution x = b - a 2. L'équation ax = b a pour solution x = b/a (a­0)

Résoudre une équation :

Exemple : 2x + 6 = 2 (1 - x) premier membre deuxième membre Résoudre cette équation c'est trouver toutes les valeurs que l'on peut donner à x pour que l'égalité soit vraie. On utilise les règles suivantes: règle 1 : on peut additionner ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une égalité; règle 2 : on peut multiplier ou diviser par un même nombre non nul les deux membres d'une égalité. Résoudre l'équation 2x + 6 = 2(1 - x) 2x + 6 = 2(1 - x) 2x + 6 = 2 - 2x <--------- on développe 2x + 6 + 2x = 2 <---------- règle 1 : on ajoute 2x ; on regroupe les termes en x dans le 1er membre 4x + 6 = 2 <--------- on réduit 4x = 2 - 6 <---------- règle 1 : on soustrait 6 à chaque membre 4x = -4 4x÷4 = -4÷4 <----------- règle 2 on divise par 4 chaque membre x = -1 vérification : Si x = -1 alors 2x + 6 = 2 x (-1) + 6 = 4 et 2(1 - x) =2 (1 - (-1)) = 4 L'égalité est vraie x = -1 est l'unique solution de l'équation 2x + 6 = 2(1 - x)

Inéquation du premier degré à une inconnue

Propriétés des inégalités

Règle 1 : on peut aditionner ou soustraire un même nombre aux deux membres d'une inégalité; Si a < b alors a + c < b + c Exemple : Si x - 7 < 4 alors x - 7 + 7 < 4 + 7 x < 11 L'inéquation a une infinité de solutions. Représentons graphiquement ces solutions : La demi-droite coloriée représente les solutions. (x = 11 n'est pas une solution, le crochet est tourné vers la partie hachurée) règle 2 : on peut multiplier ou diviser par un même nombre strictement positif les deux membres d'une inégalité de même sens. Si a ² b et c > 0 alors ac ² bc Exemple : Si 5x ³ 4 alors 5x ÷ 5 ³ 4 ÷ 5 x ³ 4/5 ou x ³ 0,8 Représentation graphique des solutions : La demi-droite coloriée représente les solutions. (x = 0,8 est une solution, le crochet est tourné du côté des solutions) règle 3 : on peut multiplier ou diviser par un même nombre négatif les deux membres d'une inégalité on obtient alors une inégalité de sens contraire. Si a ² b et c < 0 alors ac ³ bc Exemple : Si -4x ² 8 alors -4x ÷ (-4) ³ 8 ÷ (-4) <---- l'inégalité change de sens x ³ -2 Représentation graphique des solutions :

Résoudre une inéquation :

Exemple résoudre : -5x + 7 > 2x + 21 premier membre deuxième membre -5x + 7 > 2x + 21 -5x + 7 - 7 > 2x + 21 - 7 <----------- Règle 1 : on ajoute -7 à chaque membre -5x > 2x + 14 <---------- On réduit -5x -2x > 2x - 2x + 14 <---------- Règle 1 : on ajoute -2x à chaque membre -7x > 28 <--------- On réduit -7x ÷(-7) < 28÷(-7)<----------- Règle 3 : on divise chaque membre par -7. L'inégalité se retourne x < -4 Représentons graphiquement ces solutions :

Système de deux inéquations à une inconnue

Résoudre le système d'inéquations suivant et représenter graphiquement les solutions : Il faut déterminer les solutions communes aux deux inéquations. Méthode : Il faut résoudre chacune des inéquations.

7 - 2x < 3
 
-2x < -4
 
x > 2
  et
2x - 7 ² 1
 
2x ² 8
 
x ² 4
  Les solutions du systéme sont les nombres x tels que x > 2 et x ² 4 ou encore 2 < x ² 4. Représentation graphique des solutions :

Résoudre un problème à l'aide d'inéquations

Enoncé : Une société de location de véhicule propose le tarif suivant : Voiture Forfait Prix par kilomètre parcouru 106 200 F 3 F ZX 300 F 1,50 F Safrane 380 F 1,80 F   Pour quel distance en kilomètres, le prix de location d'une 106 est-il supérieur à celui d'une ZX et inférieur à celui d'une Safrane ? Méthode : Pour résoudre ce problème il faut suivre 4 étapes : 1. Choix de l'inconnue 2. Mise en (in)équation 3. Résoudre 4. Rédiger la conclusion 1. Choix de l'inconnue : Soit x le nombre de kilomètres parcourus. 2. Mise en (in)équation : Prix de location d'une 106 : 200 + 3x Prix de location d'une ZX : 350 + 1,5xPrix de location d'un Safrane : 380 + 1,8x Il faut résoudre le système : 3. Résolution :

200 + 3x > 350 + 1,5x1,5x > 150x >100  et  
200 + 3x < 380 + 1,8x1,2x < 180x < 180/1,2x < 150 
4. Conclusion : Entre 100 et 150 km, le prix de location d'une 106 est compris entre celui d'une ZX et celui d'une Safrane      
5. Donner l'encadrement d'un résultat : Un disque de 7 cm de rayon est inscrit dans un carré de 14 cm de côté. Donner un encadrement de l'aire de la partie colorée sachant que 3,14 < pi < 3,15 Exprimons l'aire de la partie colorée en fonction de pi. L'aire de la partie colorée est égale à la différence entre l'aire du carré et celle du disque.
A = c2 - piR2 A = 142 - pi x 72 A = 196 - 49pi
  Déterminons un encadrement de l'aire méthode 1 : On transforme l'encadrement de pi pour obtenir l'encadrement de 196 - 49pi 3,14 < pi < 3,15 49 x 3,14 < 49pi < 49 x 3,15 On multiplie chaque membre par 49. (règle 2) 153,86 < 49pi <154,35 -153,86 >-49pi >-154,35 On multiplie chaque membre par (-1), l'inégalité se renverse. (règle 2) 196 - 153,86 > 196 -49pi >196 -154,35 On additionne 196 à chaque membre. (règle 1) 42,14 > 196 - 49pi > 41,65 On écrit l'encadrement dans le sens croissant. 41,65 <196 - 49pi < 42,14 On obtient l'encadrement de l'aire de la partie colorée. méthode 2 : On calcule l'aire pour pi = 3,14 ; si pi = 3,14 alors A = 196 - 49 x 3,14 = 42,14 On calcule l'aire pour pi = 3,15 ; si pi = 3,15 alors A = 196 - 49 x 3,15 = 41,65 On écrit l'encadrement sans se tromper dans le sens. 41,65 < A < 42,14 L'aire colorée est comprise entre 41,65 cm2 et 42,14 cm2 4. Conclusion : Entre 100 et 150 km, le prix de location d'une 106 est compris entre celui d'une ZX et celui d'une Safrane  

Vous avez aimé l’article ?

Aucune information ? Sérieusement ?Ok, nous tacherons de faire mieux pour le prochainLa moyenne, ouf ! Pas mieux ?Merci. Posez vos questions dans les commentaires.Un plaisir de vous aider ! :) (5,00/ 5 pour 1 votes)
Loading...

Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !

Vous avez aimé
cette ressource ?

Bravo !

Téléchargez-là au format pdf en ajoutant simplement votre e-mail !

{{ downloadEmailSaved }}

Votre email est invalide