L'orthocentre

Définition

Afin de mieux comprendre ce qu'est l'orthocentre, il faut en premier lieu définir ce qu'est une hauteur. Dans un triangle, une hauteur est une droite perpendiculaire à un coté du triangle et qui passe par le sommet à savoir un des points du triangle. Un triangle ayant 3 cotés, il possède par conséquent 3 hauteurs.

Or l'intersection des 3 hauteurs d'un triangle se rejoint en un unique point généralement noté H. On dit que l'intersection des 3 hauteurs  du triangle est l'orthocentre.

Cas particulier : Concernant le triangle rectangle l'orthocentre correspond au point pour lequel le triangle est rectangle. En effet, sur un triangle ABC rectangle en A, la droite AB est une hauteur et la droite AC est une hauteur. Enfin, le sommet BC est une droite passant par le point A.

Comment représenter l'orthocentre d'un triangle ? L'orthocentre d'un triangle quelqconque

Le centre de gravité

Définition

Afin de mieux comprendre ce qu'est le centre de gravité, il faut en premier définir ce qu'est une médiane. La médiane d'un triangle est une droite qui passe par le sommet du triangle et le centre du coté opposé. Un triangle ayant 3 cotés, il possède par conséquent 3 médianes.

Or l'intersection des 3 médianes d'un triangle se rejoint en un unique point généralement noté G. On dit que l'intersection des 3 médiane du triangle est le centre de gravité.

Sur un triangle quelconque, le centre de gravité se situe aux 2/3 de chaque médiane en partant du sommet.

Propriétés

Comment représenter le centre de gravité d'un triangle ? Le point G est le centre de gravité du triangle ABC

D'après le théorème d'Apollonius on a :

GB² + GC² + GA² = AK² + BI² + CJ²

En coordonnées cartésiennes, on considère les points A, B,C,G comme des points du plan cartésien A(xa, ya), B(xb,yb), C(xc,yc), G(xg,yg).

Le centre du cercle circonscrit

Définition

Le cercle circonscrit à un triangle est le seule et unique cercle passant par les 3 sommets du triangle. Pour trouver le centre du cercle circonscrit, il faut construire les 3 médiatrices du triangle. Pour rappel, la médiatrice d'un segment et la perpendiculaire à ce segment passant par son milieu. Contrairement à la médiane, il y a donc une contrainte supplémentaire représenté par la perpendiculaire au coté.

En construisant les 3 médiatrices d'un segment, l'intersection permet de définir le centre du cercle circonscrit au triangle.

Le centre du cercle inscrit

Définition

Le cercle inscrit à un triangle est le seule et unique cercle inclus à l'intérieur d'un triangle. Pour trouver le centre du cercle inscrit au triangle, il faut construire les 3 bissectrices du triangle. Pour rappel, la bissectrice est la droite qui coupent l'angle en son milieu.

En construisant les 3 bissectrices d'un triangle, l'intersection permet de définir le centre du cercle inscrit au triangle.

La droite d'Euler

Définition

En géométrie, la droite d'Euler d'un triangle est la droite passant par l'orthocentre, le centre du cercle circonscrit et le centre de gravité. Dans un triangle quelconque, l'ensemble de ces intersections permet de représenter une droite. Le triangle ne doit pas être un triangle rectangle ou équilatérale pour que la propriété s'applique.

Cette droite se nomme la droite d'Euler car c'est le mathématicien Leonhard Euler qui a énoncé et démontré cette propriété.

Qu'est-ce que la droite d'Euler ? Représentation de la droite d'Euler

Les droites de couleur bleues représentent les 3 hauteurs du triangle car elles sont perpendiculaires à un coté et se coupent au sommet. Ces droites se coupent par conséquent pour former l'orthocentre du triangle.

Les droites de couleur jaunes sont les 3 médianes du triangle. Elles coupent chaque coté du triangle en leur milieu et se rejoignent sur chaque sommet du triangle. L'intersection de ces 3 droites forme le centre de gravité du triangle.

Les droites de couleur vertes sont les 3 médiatrices du triangle. Elles coupent chaque coté du triangle en partant du milieu d'un coté en formant la perpendiculaire au coté. L'intersection de ces 3 droites forme le centre du cercle circonscrit au triangle.

La droite rouge constitue la droite d'Euler qui passe par l'orthocentre, le centre de gravité et le centre du cercle circonscrit au triangle.

Exercices Corrigés

Exercice

Comment représenter le cercle circonscrit au triangle ? Triangle et cercle circonscrit au triangle

 

Soit A,B,C un triangle et A',B',C' les milieux respectifs des cotés [AB], [BC] et [AC].

Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

On note H le point défini par : \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}.

1. Montrer que \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA'}

2. Montrer que \overrightarrow{AH} = 2\overrightarrow{OA'}.

3. Démontrer que [AH] est perpendiculaire à [BC].

4. Démontrer que [BH] est perpendiculaire à [AC].

5. Quelles propriétés des 3 hauteurs venons nous de démontrer ?

Corrigé

1. On sait que \overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}.

D'après la relation de Chasles :

\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{A'C}

Or \overrightarrow{A'B} = -\overrightarrow{A'C} car les vecteurs sont de même longueur, de même direction mais de sens opposé.

D'où \overrightarrow{A'B} + \overrightarrow{A'C} = 0

D'où \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 2\overrightarrow{OA'}

2. D'après la relation de Chasles,

\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OH} \Leftrightarrow  \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} \Leftrightarrow  \overrightarrow{AH} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} car  \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OA} = 0 \Leftrightarrow  \overrightarrow{AH} = 2\overrightarrow{OA'} d'après 1.

3. On sait que A' est le milieu du segment [BC].

On sait que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Par conséquent, O est le point d'intersection des 3 médiatrices de ABC.

Par conséquent, la droite (OA') est la médiatrice du triangle ABC.

Par définition, la médiatrice d'un segment est perpendiculaire au segment et passe par son milieu. Par conséquent, la droite OA' est perpendiculaire à la droite BC.

Or 2\overrightarrow{OA'} = \overrightarrow{AH}. Les 2 vecteurs étant colinéaires, ils ont la même direction, le même sens mais des longueurs différentes.

Par conséquent, la droite AH est perpendiculaire à la droite BC.

4. D'après la relation de Chasles :

\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{B'A} + \overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{B'C} = 2\overrightarrow{OB'} + \overrightarrow{B'A} + \overrightarrow{B'C}

Or \overrightarrow{B'A} et \overrightarrow{B'C} sont de même direction, de même longueur mais de sens opposé. Par conséquent \overrightarrow{B'A} + \overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{0}.

D'où \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}  = 2\overrightarrow{OB'}.

D'après la relation de Chasles :

\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OH} \Leftrightarrow  \overrightarrow{BH} = \overrightarrow{BO} +\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} \Leftrightarrow  \overrightarrow{BH} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} \Leftrightarrow  \overrightarrow{BH} = \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OB} +2\overrightarrow{OB'} \Leftrightarrow  \overrightarrow{BH} = 2\overrightarrow{OB'}

car \overrightarrow{BO} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{0}.

On sait que B' est le milieu du segment [AC].

On sait que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Par conséquent, O est le point d'intersection des 3 médiatrices de ABC.

Par conséquent, la droite (OB') est la médiatrice du triangle ABC.

Par définition, la médiatrice d'un segment est perpendiculaire au segment et passe par son milieu. Par conséquent, la droite OB' est perpendiculaire à la droite AC.

Or 2\overrightarrow{OB'} = \overrightarrow{BH}. Les 2 vecteurs étant colinéaires, ils ont la même direction, le même sens mais des longueurs différentes.

Par conséquent, la droite BH est perpendiculaire à la droite AC.

5. La droite AH est la droite passant par le sommet du triangle ABC et perpendiculaire au coté BC.

La droite BH est la droite passant par le sommet du triangle ABC et perpendiculaire au coté AC.

Par conséquent, ces droites son concourantes et le point de concours est l'orthocentre.

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