Utiliser les nombres premiers

Présentation des nombres premiers

Les nombres premiers sont liés à énormément de calculs mathématiques. Même si au collège leur utilité paraît limitée, il vous sera important pour la suite de vos études de bien maîtriser ce domaine.

Un nombre premier est un nombre entier qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui même.

Voici la liste des nombres premiers jusqu’à 100 :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

Exemples de nombres non premiers :

  • 8 n’est pas un nombre premier car il est divisible par 1, 2, 4 et 8 ;
  • 1 n’est pas un nombre premier car il n’admet qu’un seul diviseur : lui même ;
  • 0 n’est pas un nombre premier car il est divisible par n’importe quel nombre non nul.

Décomposition en produits de facteurs

Un nombre entier supérieur ou égal à 2 se décompose en produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique, à l’ordre près.

Exemple

Décomposons 94 en produit de facteurs premiers

La décomposition est unique : elle ne dépend pas du procédé utilisé pour l’obtenir.

Deux méthodes sont possibles

Méthode 1

On cherche les diviseurs premiers de 84 dans l’ordre croissant.

  • 84 est divisible par 2 : 84 = 2 x 42 ;
  • 42 est divisible par 2 : 84 = 2 x 2 x 21 ;
  • 21 est divisible par 3 : 84 = 2 x 2 x 3 x 7.

Or, 7 est premier, donc la décomposition de 84 en produit de facteurs premiers est terminée.

On écrit donc cette décomposition comme suit :

    \[ 84 = 2 ^ { 2 } \times 3 \times 7 \]

Méthode 2

On écrit d’abord un produit quelconque égal à 84.

84 = 4 x 21 donc 84 = 2 x 2 x 3 x7

Les nombres 2, 3 et 7 sont premiers donc la décomposition de 84 en produit de facteurs premiers est :

    \[ 84 = 2 ^ { 2 } \times 3 \times 7 \]

Décomposons 1600 en produit de facteurs premiers

1600 = 16 x 100 = 4 x 4 x 4 x 25 donc 1600 = 2² x 2² x 2² x 5².

La décomposition de 1600 en produit de facteurs premiers est :

    \[ 1600 = 2 ^ { 6 } \times 5 ^ { 2 } \]

La double distributivité et les identités remarquables

Distributivité

Développer, c’est transformer un produit en une somme algébrique

Soient k, a et b qui désignent des nombres relatifs.

Voici un produit : k (a + b)

Et en voici la somme algébrique : ka + kb car la multiplication est distributive

Exemple

Développer A = 7 (x + 2)

    \[ A = 7 ( x - 2 ) \]

    \[ A = 7 \times x - 7 \times 2 \]

    \[ A = 7 x - 14 \]

On distribue 7 sur chaque terme de la somme (x – 2)

La double distributivité

Quelle que soit les nombres a, b, c et d, on a :

    \[\text {Produit de facteurs}\begin{cases} ( a + b) \times ( c + d )\end{cases} \]

 

    \[ = \]

 

    \[\text {Somme de 4 termes}\begin{cases} a \times c + a \times d + b \times c + b \times d\end{cases} \]

Exemple

Développer, réduire puis ordonner B = (3x – 4) (-2x + 7)

    \[ B = ( 3 x - 4 ) ( - 2 x + 7 ) \]

    \[ B = - 3 x \times 2 x + 3 x \times 7 + 4 \times 2 x - 4 \times 7 \]

    \[ B = - 6 x ^ { 2 } + 21 x + 8 x - 28 \]

    \[ B = - 6 x ^ { 2 } + 29 x - 28 \]

Les identités remarquables

Les identités remarquables sont liées à énormément de calculs et de démonstrations. Elles vous serviront aussi bien en algèbre qu’en géométrie. En effet, la distribution est l’un des calculs les plus effectués en mathématiques.

Quels que soient les nombres a et b, on a :

  • (a + b)² = a² + 2ab + b² ;
  • (a – b)² = a² – 2ab + b² ;
  • (a + b) (a – b) = a² – b².

Quelques exemples d’application des identités remarquables

Première identité remarquable

    \[ A = ( x + 7 ) ^ { 2 } \]

    \[ A = x ^ { 2 } + 2 \times x \times 7 + 7 ^ { 2 } \]

    \[ A = x ^ { 2 } + 14 x + 49 \]

Deuxième identité remarquable

    \[ B = ( 3 x - 5 ) ^ { 2 } \]

    \[ B = ( 3 ) ^ { 2 } - 2 \times 3 x \times 5 + 5 ^ { 2 } \]

    \[ B = 9 x ^ { 2 } - 30 x + 25 \]

Troisième identité remarquable

    \[ C = ( 2 x + 3 ) ( 2 x - 3 ) \]

    \[ C = ( 2 x ) ^ { 2 } - 3 ^ { 2 } \]

    \[ C = ( 4 x ) ^ { 2 } - 9 \]

Les fonctions

Pour commencer, prenons un exemple.

Le prix des légumes dépend de leur masse.
On dit donc que le prix est en fonction de la masse.

Si pour 3,5 kg de légumes on paie 10,50 € :

On abrège : p de 3,5 kg = 10,50 €
donc : p (3,5 kg) = 10,50 €
d’où : p (3,5) = 10,5 (sans unité)

On peut donc définir une fonction p qui à une masse en kilo grammes associe un prix en euros.
Elle se note : p(masse)=prix ou p : masse → prix

Définition et notation

Si x est un premier nombre auquel on associe un unique deuxième nombre, alors on définit une fonction.

Si f est le nom de cette fonction, alors on note :

    \[ f : x \mapsto y \]

Avec :

  • f fonction qui à x associe y ;
  • x antécédent de y par la fonction f ;
  • y image de x par la fonction f.

Quelques notions à retenir :

  • L’antécédent x a pour image y ;
  • y est l’image de l’antécédent x ;
  • L’image y a pour antécédent x ;
  • x est l’antécédent de l’image y.

On peut définir une fonction de plusieurs façons. On peut utiliser un tableau de valeurs ou encore un graphique. Mais le plus souvent, on rencontrera l’expression littérale de la fonction.

Fonction définie à partir d’un tableau de valeurs

Voici un exemple de tableau de valeurs d’une fonction

x-5-4-3-2-1012345
y = f (x)-10-8-60263102-3

Dans la première ligne du tableau « x », on lit les antécédents.
Dans la deuxième ligne « y = f (x) », on lit les images.

Grâce à ce tableau, on peut extraire les informations suivantes :

  • L’image de 5 par le fonction f est -3 ;
  • Les antécédents de 0 sont -2 et 3 ;
  • f (3) = 0 ;
  • f (x) = 3 pour x = 1 et donc f (1) = 3.

Fonction définie à partir d’un graphique

Sur un graphique, les antécédents se trouvent sur l’axe des abscisses (l’axe horizontal) et les images se trouvent sur l’axe des ordonnées (l’axe vertical).

Le graphique ci-contre représente l’altitude d’un avion en fonction du temps. On note f la fonction qui au temps « x » associe l’altitude « y » en mètres. Elle se note ainsi :

    \[ f : x \mapsto y = f ( x )\]

On peut donc en extraire les informations suivantes :

  • L’image de 6 par la fonction f est 4000. Donc f (6) = 4000 ;
  • Les antécédents de 4000 sont 0,5 et 6. Donc f (6) = 4000 et f (0,5) = 4000 ;
  • f (1) = 6000 ;
  • f (x) = 9000 pour x = 4 .

Fonction définie à partir d’une formule

Soit un programme de calcul :

  1. Choisir un nombre ;
  2. L’élever au carré ;
  3. Ajouter 5 au résultat.

Soit f la fonction qui au nombre x choisi au départ associe le résultat final f (x).

f (x) = x² + 5

f (5) = 25 + 5 = 30
Donc 30 est l’image de 5 par la fonction f (x).

41 – 5 = 36 et la racine carré de 36 est 6. Donc f (6) = 41 et f (-6) = 41.

Les antécédents de 41 sont -6 et 6.

Les équations

Une équation se définit comme une égalité comportant un nombre inconnu que l’on appelle équation.

Résoudre une équation consiste à déterminer les valeurs de l’inconnue qui rendent vraie l’égalité. Ces valeurs sont les solutions de l’équation.

Théorème

Si l’on applique la même opération à chaque membre d’une équation, alors on ne change pas les solutions de cette équation.

Cependant, on ne peut pas multiplier les deux membres d’une équation par 0.

Le calcul littéral

Le calcul littéral regroupe plusieurs notions et une certaine notation.

Notation

Voici quelques règles :

  • 1x se note x ;
  • -1x se note -x ;
  • x × x se note x².

Le développement

Définition

Développer, c’est transformer un produit en somme algébrique. On peut utiliser les règles de distributivité.

Les règles de distributivité

Voici les 3 grandes règles de distributivité :

  • a (b + c) = ab + ac ;
  • a (b – c) = ab – ac ;
  • (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd.

Les identités remarquables

Les identités remarquables sont elles aussi des règles qu’il faut absolument connaître pour développer correctement les polynômes du second degré.

Les voici :

  • (a + b)² = a² + 2ab + b² ;
  • (a – b)² = a² + 2ab – b² ;
  • (a + b) (a – b) = a² – b².

La factorisation

Définition

Factoriser, c’est transformer une somme algébrique en un produit.

Méthode

Une fois encore, on utilise les identités remarquables ainsi que les règles de distributivité mais cette fois dans l’autre sens.

Les règles de distributivité

  • ab + ac = a (b + c) ;
  • ab – ac = a (b – c) ;
  • ac + ad + bc + bd = (a + b) (c + d).

Les identités remarquables

  • a² + 2ab + b² = (a + b)² ;
  • a² + 2ab – b² = (a – b)² ;
  • a² – b² = (a + b) (a – b).

Exercices

La calculatrice peut vous être d’une grande aide pour vos calculs. Cependant, essayez de travailler sans car vous pouvez facilement réaliser la plupart des calculs avec des inconnues de tête. De plus, si jamais votre calculatrice tombe en panne lors d’un examen, vous ne serez pas perdu et pourrez continuer votre travail. Pour finir, il arrive que dans les études supérieures, vous deviez effectuer certains exercices sans la calculatrice. C’est pourquoi il vaut mieux s’habituer au plus tôt !

Exercice 1

a et b désignent des longueurs, donc des nombres positifs.

Utiliser la figure ci-contre pour exprimer l’aire du carré de côté a + b de deux façons différentes.

Recopier et compléter : (a + b)² = … + 2 … + …

Exercice 2

Soient a et b qui désignent des nombres relatifs.

Développer puis réduire (a + b)² c’est à dire (a + b) (a + b).

Exercice 3

Un élève affirme avoir réussi à calculer mentalement 18,5² – 11,5². Comment a-t-il fait ?

Exercice 4

Avec son argent de poche, lundi, Noé a acheté trois posters, tous au même prix. Il lui reste 7,98 €. On désigne par x le prix d’un de ces posters.
Exprimer, en fonction de x, le montant des économies de Noé avant son achat.

Le lendemain, mardi, il constate que le prix de ces posters a baissé de 2 €. Il se dit : « Avec la somme d’argent que j’avais hier, j’aurais pu acheter exactement 5 posters à ce prix-là. »
Donner, en fonction de x, une nouvelle expression des économies de Noé avant son achat.

Traduire cette situation par une équation d’inconnue x et résoudre cette équation.

Conclure sur le prix d’un poster acheté par Noé. En déduire le montant de ses économies.

Exercice 5

Maïa, nouvelle adhérente d’un club de squash, étudie les deux tarifs proposés :

Tarif A : 5,50 € par séance.
Tarif B : achat d’une carte Privilège à 40 € pour l’année, donnant droit au tarif réduit de 4 € par séance.

On note n le nombre de séances. Exprimer, en fonction de n, la dépense totale pour n séances :

  • Avec le tarif A ;
  • Avec le tarif B.

Résoudre l’inéquation 4 n + 40 ≤ 5,5 n

Expliquer, en rédigeant la réponse, à quoi correspondent pour Maïa les nombres entiers qui sont solutions de cette inéquation.

Exercice 6

Soit l’expression suivante :

    \[ E = (2 x - 3) ^ { 2 } + ( 2 x - 3 ) ( x + 8 )\]

Développer puis réduire l’expression algébrique E.

Factoriser l’expression algébrique E.

Calculer l’expression E quand x = 3 / 2.

Vous avez aimé l’article ?

Aucune information ? Sérieusement ?Ok, nous tacherons de faire mieux pour le prochainLa moyenne, ouf ! Pas mieux ?Merci. Posez vos questions dans les commentaires.Un plaisir de vous aider ! :) (5,00/ 5 pour 1 votes)
Loading...

Clément

Freelancer et pilote, j'espère atteindre la sagesse en partageant le savoir que j'ai acquis lors de mes voyages au volant de ma berline. Curieux scientifique, ma soif de découverte n'a d'égale que la durée de demie-vie du bismuth 209.

Vous avez aimé
cette ressource ?

Bravo !

Téléchargez-là au format pdf en ajoutant simplement votre e-mail !

{{ downloadEmailSaved }}

Votre email est invalide