Définition

En cours de maths, le PGCD est un acronyme signifiant « Plus Grand Commun Diviseur ». On peut le noter PGDC mais la version officielle reste le PGCD. Soient 2 nombres a et b appartenant à N. Le but du jeu du PGCD est de trouver le nombre le plus grand qui va permettre de diviser à la fois le nombre a et le nombre b. Par exemple, Le pgcd de 6 et 9 est 3 car il est diviseur commun le plus grand de 6 et de 9. Quelques remarques sont à notifier concernant le PGCD :

  • Chaque nombre peut se diviser à minima par 1 et par lui-même
  • Un nombre qui ne peut se diviser que par 1 et par lui-même est un nombre premier
  • Un nombre pair pourra toujours à minima être divisible par 2. Par conséquent, le pgcd de 2 nombres pairs sera à minima égal à 2

Quels sont les premiers nombres premiers ? Liste des diviseurs par 2,3,5 et nombres premiers

Le PGCD

Il existe plusieurs méthodes pour trouver le PGCD de 2 nombres.

  • 1èreméthode : Trouver l’ensemble des diviseurs de chacun des nombres.

Une fois l'ensemble des diviseurs de chacun des nombres trouvés, il nous reste alors à sélectionner le diviseur le plus grand commun aux deux nombres. Par exemple, si l’on reprends le cas que nous avons inclus dans la définition, on cherche l’ensemble des diviseurs de nos deux nombres : L’ensemble des diviseurs de 6 est: {1;2;3;6} L’ensemble des diviseurs de 9 est: {1;3;9} Le diviseur commun le plus élevé entre ces deux nombres est donc 3.

Exercice corrigé

Exercice

Calcul le PGCD des nombres suivants :

  • 6 et 18
  • 8 et 30
  • 26 et 54
  • 24 et 72
  • 624 et 408

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Corrigé

  • 6 et 18

L’ensemble des diviseurs de 6 est: {1,2,3,6} L’ensemble des diviseurs de 18 est: {1,2,3,6,9,18} Le diviseur commun le plus élevé entre ces deux nombres est donc 6.  

  • 8 et 30

L’ensemble des diviseurs de 8 est: {1,2,4,8} L’ensemble des diviseurs de 30 est : {1,2,5,6,10,30} Le diviseur commun le plus élevé entre ces deux nombres est donc 2.

  • 26 et 54

L’ensemble des diviseurs de 26 est : {1,2,13,26} L’ensemble des diviseurs de 54 est : {1,2,6,9,54} Le diviseur commun le plus élevé entre ces deux nombres est donc 2.

  • 24 et 72

L’ensemble des diviseurs de 24 est : {1,2,4,6,12,24} L’ensemble des diviseurs de 72 est : {1,2,4,8,9,12,18,24,36,72} Le diviseur commun le plus élevé entre ces deux nombres est donc 24.

  • 624 et 408

L’ensemble des diviseurs de 624 est : {1,2,3,4,6,8,12,13,16,24,26,39,48,52,78,104,156,208,312,624} L’ensemble des diviseurs de 408 est : {1,2,3,4,6,8,12,17,24,34,51,68,102,136,204,408} Le diviseur commun le plus élevé entre ces deux nombres est donc 24.   Cette méthode, bien qu’étant efficace, est de plus en plus difficile à appliquer lorsque les nombres deviennent de plus en plus grand. Afin d’éviter ce genre de situation où l’on risque d’oublier des diviseurs, on peut travailler par itération (cours de maths 3ème).  

  • 2ème méthode : Travail par itérations successives

Dans notre 1ère itération, on cherche un diviseur commun sans forcément être le plus grand. Une fois réalisé, on divise les 2 nombres par ce diviseur. A la 2ème itération, on cherche s’il existe un nouveau diviseur commun. Si oui, on divise les 2 nombres par le nouveau diviseur. S’il n’existe pas, alors on a trouvé le PGCD. Enfin, on récupère le PGCD en multipliant le résultat des diviseurs de chacune des opérations. On continue les itérations jusqu’à ce qu’il n’existe plus de diviseur commun aux 2 nombres. Reprenons l’exercice précédent en appliquant cette méthode.

  • 6 et 18

1ère itération : On peut diviser 6 et 18 par 2. On obtient alors 3 et 9. 2ème itération : On peut diviser 3 et 9 par 3. On obtient alors 1 et 3 Le PGCD est donc égal à 2*3 = 6.

  • 8 et 30

1ère itération : On peut diviser 8 et 30 par 2. On obtient alors 4 et 15. Étant donné qu'il n y a pas d'autres diviseurs commun, le PGCD est de 2

  • 26 et 54

1ère itération : On peut diviser 26 et 54 par 2. On obtient alors 13 et 27. Étant donné qu'il n y a pas d'autres diviseurs commun, le PGCD est de 2

  • 24 et 72

Nombre d'itérationsNombre 1Nombre 2Diviseur
124722
212362
36182
4393
5131
Le PGCD des 2 nombres est donc égal au résultat de la multiplication des diviseurs à savoir : 2*2*2*3 = 24.

  • 624 et 408

Nombre d'itérationsNombre 1Nombre 2Diviseur
16244082
23122042
31561022
478513
52617
Le PGCD des 2 nombres est donc égal au résultat de la multiplication des diviseurs à savoir : 2*2*2*3 = 24. Trouvez votre cours de maths terminale s.

  • 3ème méthode : Algorithme des soustractions successives

Le concept de cette méthode repose sur le fait que les diviseurs communs à deux nombres sont également les diviseurs de leur différence. Soient 2 nombres a et b appartenant à N avec a>b, on détermine alors le PGCD en calculant la différence c=a-b. On calcule ensuite la différence entre le résultat obtenu est le plus petit des 2 nombres. On avance ainsi de suite jusqu'à obtenir le résultat nul. Le PGCD sera alors simplement le résultat juste au dessus du résultat nul. Reprenons à nouveau les cas de l'exercice.

  • 6 et 18

On effectue les soustractions successives : 18-6 = 12 18-12 = 6 On soustrait le résultat avec le membre le plus petit 12-6 = 6 6-6 = 0  On obtient le résultat nul. Le PGCD de 18 et 6 est 6

  • 8 et 30

30-8 = 22 On fait la soustraction du plus grand par le plus petit 30-22 = 8 22-8 = 14 22-14=8 14-8 = 6 8-6=2 6-2=4 6-4 = 2 4-2 = 2 2-2 = 0 Le résultat du PGCD correspond donc à la valeur du résultat ci-dessus Le PGCD de 18 et 6 est 2

  • 26 et 54

Ce calcul étant particulièrement long, les résultats sont placés les uns à la suite des autres pour ne pas surcharger l'article. Cela se lit de gauche à droite et de haut en bas. 54-26 = 28      54-28 = 26      28-26 = 2      26-2 = 24 26-24 = 2         24-2 = 22        24-22 = 2      22-2 = 20 22-20 = 2         20-2=18          20-18 = 2       18-2 = 16 18-16 = 2         16-2 = 14          16-14 = 2        14-2 = 12 14-12 = 2         12-2 = 10          12-10 = 2         10-2 = 8 10-8 = 2          8-2 = 6              8-6 = 2             6-2 = 4 4-2 = 2            2-2 = 0 Le PGCD de 54 et 26 est 2

  • 72 et 24

72-24 = 48 72-48 = 24 48-24 = 24 24-24 = 0 Le PGCD de 72 et 24 est 24.

  • 624 et 408

Comme pour le PGCD précédent, ce dernier est mis en liste de colonne pour ne pas surcharger l'article. 624-408 = 216     408-216 = 192     216-192 = 24 192-24 = 168       192-168 = 24        168-24 = 144 168-144 = 24       144-24 = 120        144-120 = 24 120 - 24 = 96       96 - 24 = 72           96-72 = 24 72-24 = 48            72-48 = 24           48-24 = 24 24-24 = 0 Le PGCD de 624 et 408 est 24.

  • 4ème méthode : Algorithme d'Euclide

Le concept est sensiblement le même que celui pour les soustractions successives : on effectue des divisions avec reste successives jusqu'à ce que le reste soit égal à 0. Cette méthode est en général la plus rapide. Reprenons à nouveau nos différents calculs de PGCD :

Comment fonctionne une division euclidienne ? Démonstration de la division euclidienne

  • 6 et 18

18 = 6*3 + 0 Le reste étant désormais nul, le PGCD de 18 et 6 est 6.

  • 8 et 30

30 = 8*3+6 8 = 6*1 + 2 6 = 2*3 + 0 Le PGCD de 30 et 8 est 2.

  • 26 et 54

54 = 26*2 + 2 26 = 2*13 + 0 Le PGCD de 26 et 54 est 2.

  • 72 et 24

72 = 24*3 + 0 Le PGCD de 72 et 24 est 24.

  • 624 et 408

624 = 408*1 + 216 408 = 216*1 + 192 216 = 192*1 + 24 192 = 24*8 + 0 Le PGCD de 624 et 408 est 24.

  • 5ème méthode : Avec une calculatrice

Le PGCD peut se calculer avec une calculatrice. Cela se fait soit avec des divisions avec restes successives, soit directement via le bouton pgcd de la calculatrice si ce dernier est disponible.

Comment calculer le PGCD avec une calculatrice ? Calcul du PGCD à la calculatrice

 

Le PPCM

Définition

Le PPCM est un acronyme signifiant "Plus petit commun multiple". Il s'agit donc comme son nom l'indique de déterminer le multiple commun le plus petit entre deux nombres. Remarques : chaque nombre a à minima comme multiple 0 et lui-même. Comme pour le PGCD, il existe différentes méthodes pour calculer le PPCM. Ci-après 3 méthodes pour calculer le PPCM

  • 1ère méthode : Lister les multiples des deux nombres

On liste pour chacun des nombres les premiers multiples de chacun d'eux pour trouver le plus petit multiple commun aux deux nombres.

  • 6 et 18

L’ensemble  des multiples de 6 est : {0,6,12,18,24,36,...} L’ensemble  des multiples de 18 est : {0,18,36,...} Le PPCM de 18 et 6 est 18.

  • 8 et 30

L’ensemble des multiples de 8 est : {0,8,16,24,32,40,48,56,64,72,80,88,96,104,112,120,128,136,...} L’ensemble des multiples de 30 est : {0,30,60,90,120,150,...} Le PPCM de 8 et 30 est 120.

  • 26 et 54

L’ensemble  des multiples de 26 est : {0,26,52,78,...,702,728,...} L’ensemble  des multiples de 55 est : {0,54,108,162,...,702,756,...} Le PPCM de 26 et 54 est 702.

  • 72 et 24

L’ensemble  des multiples de 24 est : {0,24,48,72,96,...} L’ensemble  des multiples de 72 est : {0,72,144,...} Le PPCM de 24 et 72 est 72.

  • 624 et 408

L’ensemble  des multiples de 624 est : {0,624,1248,...,10608,...} L’ensemble  des multiples de 408 est : {0,408,816,...,10608,...} Le PPCM de 624 et 408 est 10608.  

  • 2ème méthode : Décomposer les nombres en produits de facteurs premiers

Cette méthode consiste à décomposer chacun des nombres en produit de facteurs premiers. On récupère alors l'ensemble des nombres premiers différents pour chacun d'eux avec les exposants associés en prenant ceux ayant les plus hauts exposants. Reprenons les cas précédents :

  • 6 et 18

6 = 2*3 18 = 2*3*3 = 2*3² Le PPCM est donc égal à  2*3²

  • 8 et 30

8 = 2*2*2 = 2^3 30 = 2*3*5 Le PPCM est égal à (2^3)*3*5 = 120

Comment définir la liste des diviseurs ? Liste des diviseurs en nombres premiers sous forme d'arbre

  • 26 et 54

26 = 2*13 54 = 2*3*3*3 = 2*3^3 Le PPCM est égal à 2*13*(3^3) = 702

  • 72 et 24

24 = 2*2*2*3 = (2^3)*3 72 = 2*2*2*3*3 = (2^3)*3² Le PPCM est  (2^3)*3² = 72

  • 624 et 408

624 = (2^4)*3*13 408 = (2^3)*3*17 Le PPCM est  (2^4)*3*13*17 = 10608  

  • 3ème méthode : Utiliser une formule avec le PGCD

On sait que le PPCM de deux nombres a,b est égal à : PPCM(a,b) = frac{a*b}{PGCD(a,b)}. Reprenons à nouveau nos différents cas :

  • 6 et 18

PPCM(18,6) = frac{18*6}{PGCD(18,6)}  = frac{108}{6} = 18 Le PPCM de 18 et 6 est 18.

  • 8 et 30

PPCM(30,8) = frac{30*8}{PGCD(30,8)}  = frac{240}{2} = 120 Le PPCM de 30 et 8 est 120.

  • 26 et 54

PPCM(54,26 ) = frac{26*54}{PGCD(26,54)}  = frac{1404}{2} = 702 Le PPCM de 26 et 54 est 702.

  • 72 et 24

PPCM(72 ,24) = frac{72 *24}{PGCD(72 ,24)}  = frac{1728}{24} = 72 Le PPCM de 72 et 24 est 72.

  • 624 et 408

PPCM(624 ,408) = frac{624 *408}{PGCD(624 ,408)}  = frac{254592}{24} = 10608 Le PPCM de 624 et 408 est 10608.

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