Quelle drôle d’idée que de calculer des racines à la main, alors que le XXIième siècle est proche !

Plusieurs raisons à cela :

  • Il ne faut pas trop faire confiance aux ordinateurs (surtout cette année).
  • L’intérêt historique et algorithmique de telles méthodes est loin d’être négligeable ! (et certains jeunes élèves éprouvent une grande satisfaction, lorsque leurs yeux illuminés découvrent « comment ça marche »).

Le point Historique :

Des tablettes datées de l’ancien âge babylonien (2000 avant J.C.) présentent des approximations de racines carrées. Il s’agit entre autre de déterminer la diagonale d’un rectangle dont on connaît les dimensions. On ne sait pas vraiment quelles méthodes étaient utilisées à l’époque. mais au premier siècle, l’algorithme de Héron est déjà appliqué, et c’est l’algorithme le plus performant de cette page !

Dans toutes les méthodes qui suivent, on considérera un réel positif A dont on désire extraire la racine carrée.

1. La méthode de Héron d’Alexandrie.

2. La méthode de la  » potence « 

3. Méthode de Newton – ou méthode de la tangente.

4. Un algorithme fabuleux au  » compte goutte « . (donnant les décimales unes à unes)

l’algorithme de Héron d’Alexandrie déjà exposé !

La convergence de cet algorithme est quadratique, à chaque calcul, le nombre de décimales exactes est doublé !…

Un algorithme fabuleux au  » compte goutte « .

Cette méthode SIMPLISSIME est d’une beauté fulgurante ! j’en suis fou.

Mais la convergence est décevante puisque chaque itération ne donne qu’un seul chiffre.

Cependant il suffit de connaître les nombres impairs pour la mettre en œuvre.

Sur un exemple (qui en dit long).

Soit à trouver la racine de A=2137.

On écrit ce nombre par tranche de deux (en partant de la virgule) 21 37 , 00 00

Du premier groupe, on ôte les premiers nombres impairs :

21-1-3-5-7=5.

Nous avons effectués quatre soustractions, le premier chiffre est donc un 4.

On recommence avec 537 (le reste des premières soustractions suivit du deuxième groupe)

Cette fois, on soustrait à 537 les impairs à partir de 81 (obtenu en ajoutant 1 au dernier impair utilisé multiplié par 10 et augmenté d’une unité –  » on ‘colle’ un 1 à 8 « )

537-81-83-85-87-89-91=21

La racine approchée est donc 46 (puisqu’il y a 6 soustractions)

On peut continuer :

2100-921-923=256

La valeur approchée devient 46,2

On continue ?

25600-9241-9243=6816

Une valeur approchée est donc 46,22

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Mathieu

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