Définition

Qu'est-ce qu'une fonction ?

Une fonction est un procédé qui va permettre d'associer à un nombre un autre nombre appelé image. On appelle généralement une fonction par f et on note le nombre par la variable x où x est un nombre quelconque. Enfin, on note généralement l'image du nombre par y. On peut transformer une fonction de multiples manières et donc obtenir des résultats très différents selon le type de fonctions. Dans notre cas, on étudiera seulement un certain type de fonction appelé les fonctions linéaires.

Comment représenter des fonctions ? Ensemble de différentes fonctions non linéaires

Domaine de définition

Le domaine de définition d'une fonction représente le domaine sur lequel on peut appliquer la transformation. En effet, selon le type de fonction, il peut arriver de devoir extraire certains éléments du champ d'étude de la fonction. Par exemple, prenons le cas de la fonction qui transforme un nombre x en son inverse à savoir 1/x. On obtiendrait alors en notation mathématiques : f(x) = 1/x. On sait qu'en mathématique la division par 0 est impossible. Cela veut donc dire que l'on ne peut pas transformer la variable x lorsque celle-ci est égale à 0. En effet, on aurait alors f(0) = 1/0. On dit donc que la fonction est définie sur R privé de 0 et on le note R{0}.  

Le cas de la fonction linéaire

Une fonction linéaire est une fonction particulière. Mathématiquement parlant, une fonction linéaire de coefficient a est notée f(x) = ax, avec a un nombre quelconque "fixe". A chaque nombre x, on peut donc associer son produit par a. Par exemple, les fonctions suivantes sont linéaires : f(x) = 3x ;  g(x) = 7x.  ;  h(x) = 178x. Une fonction linéaire respecte un coefficient de proportionnalité. Par exemple, si nous reprenons la fonction f(x) = 3x , on peut construire le tableau suivant :

x13510152050100
3x3915304560150300
On voit bien que quelle que soit la valeur de x, la valeur de la fonction gardera toujours cette même proportionnalité. Ce modèle peut être utilisé dans de nombreuses situations de la vie courante. Par exemple, si l'on veut convertir des euros en francs, on sait que 1€ = 6,56 francs. On a ici un cas de proportionnalité : si l'on a trois fois plus d'euros, on aura trois fois plus de francs toute proportion gardée. On pourrait noter cette fonction de conversion : f(x) = 6,56x.  L'image de la fonction sera le nombre de francs obtenus à partir du nombre d'euros initial. Remarque : Il est possible d'avoir des fonctions linéaires avec des fonctions négatives. On peut par exemple, montrer le tableau des valeurs de la fonction f(x) = -2x.
x1235102050
-2x-2-4-6-10-20-40-100
Pour exemple dans la vie réelle, on pourrait prendre le cas hypothétique du nombre de naissances par rapport au nombre de décès. Si l'on suppose qu'il y a 2 morts pour une naissance, on aurait alors une perte de deux êtres humain pour chaque naissance. Cela respecterais alors le tableau de proportionnalité affiché ci-dessus. Remarque : une fonction linéaire de coefficient a représente une situation de proportionnalité, dans laquelle le coefficient de proportionnalité est égal à a. Pour passer d'un nombre à son image, il suffit donc de multiplier par a. A l'inverse pour obtenir l'antécédent du nombre, il faut diviser par a.

Représentation graphique

On peut représenter graphiquement une fonction. Cette dernière se représente en dimension 2 avec donc deux axes. L'axe horizontal est appelé l'axe des abscisses et l'axe vertical est appelé l'axe des ordonnées. L'origine représente le point d'intersection entre les axes. Sur l'axe des abscisses, on place les antécédents de la fonction (f(0) , f(1)...). Sur l'axe des ordonnées, on place l'image de la fonction. Puisque "une fonction linéaire de coefficient a représente une situation de proportionnalité", sa représentation graphique est une droite passant par l'origine. Prenons le cas du tableau avec la fonction f(x) = -2x.

Comment dessiner une fonction linéaire ? Fonction -2x

Pour construire cette courbe, il faut s'aider du tableau écrit ci-dessus. Pour cela, on associe la valeur x sur l'axe des abscisses avec la valeur de -2x sur l'axe des ordonnées. On a par exemple les points (0;0) ; (2;-4) ; (4;-8)... Une fois ces points représentés sur la courbe, il reste alors simplement à tracer la droite reliant ces points. Pour lire les images et les antécédents des nombres, on utilise la courbe. L'antécédent est sur la ligne des abscisses et l'image sur la ligne des ordonnées. Par exemple, pour trouver l'image de 2, on trace un trait vertical depuis l'abscisse de 2 jusqu'à la courbe. Il reste alors à reporter sur la ligne des ordonnées via un trait horizontal pour en déterminer l'image.  

Exercices Corrigés

Exercices

Exercice 1 : A. Quelle est l'image de -1 par la fonction définie pour tout x définie par f(x) = 3x B. Quelle est l'image de 3 par la fonction définie pour tout x définie par f(x) = -5x C. Quel est l'antécédent de -1 par la fonction définie pour tout x définie par f(x) = 4x Exercice 2 :

A quoi ressemble la courbe d'une fonction ? Courbe d'une fonction

La courbe bleue représente une fonction sur R. A.Déterminer l'image de 2 par la fonction f. B. Déterminer l'antécédent de 2 par la fonction f Exercice 3 :

Qu'est-ce que la courbe d'une fonction quelconque ? Courbe fonction quelconque

La courbe bleue représente une fonction sur R. A.Déterminer l'image de 2 par la fonction f. B. Déterminer l'antécédent de 2 par la fonction f. C. Déterminer l'image de 4 par la fonction f.  

Corrigés

Exercice 1 : A. Pour trouver l'image de -1, on effectue le calcul f(-1) : f(-1) = 3*(-1) = -3. L'image de -1 par la fonction f est égal à -3. B. Pour trouver l'image de 3, on effectue le calcul f(3) : f(-1) = -5*3 = -15. L'image de 3 par la fonction f est égal à -15. C. Pour trouver l'antécédent de -1 par la fonction f, on effectue le calcul f(x) = -1 Leftrightarrow 4x = -1 Leftrightarrow x = frac{-1}{4}. L'antécédent de f de -4 par la fonction f est égal à -1/4.   Exercice 2 : A. On regarde sur la courbe bleue lorsque x = 2, quelle est l'ordonnée correspondante. On remarque ici que pour x=2, la courbe bleue passe par l'origine. Donc l'image  de 2 par la fonction f est égale à 0. B. Pour déterminer l'antécédent de 2 par la fonction f , on regarde la valeur de 2 sur l'axe des ordonnées. A partir de la, on trace une ligne horizontale pour croiser la courbe bleue. Cette ligne touche la courbe bleue au point d'abscisse -3. D'où l'antécédent de 2 par la fonction f est égal à -3.   Exercice 3 : A. On regarde sur la courbe bleue pour l'abscisse égale à 2. On reporte via un trait vertical pour voir quelle valeur est obtenue. On obtient sur la ligne bleue la valeur d'ordonnée égale à 3.5. L'image de 2 par la fonction f est égale à 3.5. B. Pour déterminer l'antécédent de 2 par la fonction f , on regarde la valeur de 2 sur l'axe des ordonnées. A partir de la, on trace une ligne horizontale pour croiser la courbe bleue. Cette ligne touche la courbe bleue au point d'abscisse -1.5. D'où l'antécédent de 2 par la fonction f est égal à -1.5. C. On regarde sur la courbe bleue pour l'abscisse égale à 4. On reporte via un trait vertical pour voir quelle valeur est obtenue. On obtient sur la ligne bleue la valeur d'ordonnée égale à 4. L'image de 4 par la fonction f est égale à 4.

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