Définition
Qu'est-ce qu'une fonction ?
Une fonction est un procédé qui va permettre d'associer à un nombre un autre nombre appelé image. On appelle généralement une fonction par f et on note le nombre par la variable x où x est un nombre quelconque. Enfin, on note généralement l'image du nombre par y. On peut transformer une fonction de multiples manières et donc obtenir des résultats très différents selon le type de fonctions. Dans notre cas, on étudiera seulement un certain type de fonction appelé les fonctions linéaires.
Domaine de définition
Le domaine de définition d'une fonction représente le domaine sur lequel on peut appliquer la transformation. En effet, selon le type de fonction, il peut arriver de devoir extraire certains éléments du champ d'étude de la fonction. Par exemple, prenons le cas de la fonction qui transforme un nombre x en son inverse à savoir 1/x. On obtiendrait alors en notation mathématiques : f(x) = 1/x. On sait qu'en mathématique la division par 0 est impossible. Cela veut donc dire que l'on ne peut pas transformer la variable x lorsque celle-ci est égale à 0. En effet, on aurait alors f(0) = 1/0. On dit donc que la fonction est définie sur R privé de 0 et on le note R{0}.
Le cas de la fonction linéaire
Une fonction linéaire est une fonction particulière. Mathématiquement parlant, une fonction linéaire de coefficient a est notée f(x) = ax, avec a un nombre quelconque "fixe". A chaque nombre x, on peut donc associer son produit par a. Par exemple, les fonctions suivantes sont linéaires : f(x) = 3x ; g(x) = 7x. ; h(x) = 178x. Une fonction linéaire respecte un coefficient de proportionnalité. Par exemple, si nous reprenons la fonction f(x) = 3x , on peut construire le tableau suivant :
| x | 1 | 3 | 5 | 10 | 15 | 20 | 50 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3x | 3 | 9 | 15 | 30 | 45 | 60 | 150 | 300 |
| x | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 | 20 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| -2x | -2 | -4 | -6 | -10 | -20 | -40 | -100 |
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Représentation graphique
On peut représenter graphiquement une fonction. Cette dernière se représente en dimension 2 avec donc deux axes. L'axe horizontal est appelé l'axe des abscisses et l'axe vertical est appelé l'axe des ordonnées. L'origine représente le point d'intersection entre les axes. Sur l'axe des abscisses, on place les antécédents de la fonction (f(0) , f(1)...). Sur l'axe des ordonnées, on place l'image de la fonction. Puisque "une fonction linéaire de coefficient a représente une situation de proportionnalité", sa représentation graphique est une droite passant par l'origine. Prenons le cas du tableau avec la fonction f(x) = -2x.
Pour construire cette courbe, il faut s'aider du tableau écrit ci-dessus. Pour cela, on associe la valeur x sur l'axe des abscisses avec la valeur de -2x sur l'axe des ordonnées. On a par exemple les points (0;0) ; (2;-4) ; (4;-8)... Une fois ces points représentés sur la courbe, il reste alors simplement à tracer la droite reliant ces points. Pour lire les images et les antécédents des nombres, on utilise la courbe. L'antécédent est sur la ligne des abscisses et l'image sur la ligne des ordonnées. Par exemple, pour trouver l'image de 2, on trace un trait vertical depuis l'abscisse de 2 jusqu'à la courbe. Il reste alors à reporter sur la ligne des ordonnées via un trait horizontal pour en déterminer l'image.
Exercices Corrigés
Exercices
Exercice 1 : A. Quelle est l'image de -1 par la fonction définie pour tout x définie par f(x) = 3x B. Quelle est l'image de 3 par la fonction définie pour tout x définie par f(x) = -5x C. Quel est l'antécédent de -1 par la fonction définie pour tout x définie par f(x) = 4x Exercice 2 :
La courbe bleue représente une fonction sur R. A.Déterminer l'image de 2 par la fonction f. B. Déterminer l'antécédent de 2 par la fonction f Exercice 3 :
La courbe bleue représente une fonction sur R. A.Déterminer l'image de 2 par la fonction f. B. Déterminer l'antécédent de 2 par la fonction f. C. Déterminer l'image de 4 par la fonction f.
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Corrigés
Exercice 1 : A. Pour trouver l'image de -1, on effectue le calcul f(-1) : f(-1) = 3*(-1) = -3. L'image de -1 par la fonction f est égal à -3. B. Pour trouver l'image de 3, on effectue le calcul f(3) : f(-1) = -5*3 = -15. L'image de 3 par la fonction f est égal à -15. C. Pour trouver l'antécédent de -1 par la fonction f, on effectue le calcul 
. L'antécédent de f de -4 par la fonction f est égal à -1/4. Exercice 2 : A. On regarde sur la courbe bleue lorsque x = 2, quelle est l'ordonnée correspondante. On remarque ici que pour x=2, la courbe bleue passe par l'origine. Donc l'image de 2 par la fonction f est égale à 0. B. Pour déterminer l'antécédent de 2 par la fonction f , on regarde la valeur de 2 sur l'axe des ordonnées. A partir de la, on trace une ligne horizontale pour croiser la courbe bleue. Cette ligne touche la courbe bleue au point d'abscisse -3. D'où l'antécédent de 2 par la fonction f est égal à -3. Exercice 3 : A. On regarde sur la courbe bleue pour l'abscisse égale à 2. On reporte via un trait vertical pour voir quelle valeur est obtenue. On obtient sur la ligne bleue la valeur d'ordonnée égale à 3.5. L'image de 2 par la fonction f est égale à 3.5. B. Pour déterminer l'antécédent de 2 par la fonction f , on regarde la valeur de 2 sur l'axe des ordonnées. A partir de la, on trace une ligne horizontale pour croiser la courbe bleue. Cette ligne touche la courbe bleue au point d'abscisse -1.5. D'où l'antécédent de 2 par la fonction f est égal à -1.5. C. On regarde sur la courbe bleue pour l'abscisse égale à 4. On reporte via un trait vertical pour voir quelle valeur est obtenue. On obtient sur la ligne bleue la valeur d'ordonnée égale à 4. L'image de 4 par la fonction f est égale à 4.
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