I) Théorème direct

Si ABC est un triangle
Si A, M, B sont des points alignés
Si A, N, C sont des points alignés
Si (MN) // (BC)

Alors :

AM = AN = MN
AB     AC    BC

Théorème : Si une droite coupe un triangle parallèlement à un côté alors elle définit un deuxième triangle dont les côtés sont proportionnels à ceux du premier triangle.

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II) Réciproque du théorème de Thalès

Théorème 1 :

Si A, B, M sont alignés dans cet ordre
Si A, C, N sont alignés dans cet ordre
Si AM = AN
AB     AC

Alors (MN) // (BC).

Théorème 2 :

Si A, B, M sont alignés dans cet ordre
Si A, C, N sont alignés dans cet ordre
Si AM ≠ AN
AB     AC

Alors (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

Applications :

1°)

AM = 4 cm
BM = 1.6 cmc
AN = 10.5 cm
CN = 3 cm

Les droites (MN) et (AB) sont elles parallèles ?

On sait que :

A, N, C sont alignés dans cet ordre
A, M, B sont alignés dans cet ordre
AM = 4 = 40 = 5
AB    5.6   56    7

AN = 10.5 = 105 = 21 = 7
AC    13.5    135     27    9

AM ≠ AN
AB    AC

Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) n'est pas parallèle à (AB).

2°)

AM = 4 cm
BM = 2 cm
AN = 3cm
AC = 4.5 cm

Les droites (MN) et (AB) sont elles parallèles ?

On sait que :

A, N, C sont alignés dans cet ordre
A, M, B sont alignés dans cet ordre
AM = 4 = 2
AB    6    3

AN = 3 = 30 = 2
AC   4.5   45    3

AM = AN
AB     AC

Donc, d'après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) // (AB).

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !