Racines carrées

I- Définition

Définition : Soit a un nombre positif. La racine carrée de a est le seul nombre positif dont le carré est a.

Traduction mathématique    :    √a signifie  :  a ≥ 0  ,   √a ≥ 0   et   √a² = a

Si a est négatif, √a n’a pas de sens.

√9 se prononce "racine carrée de 9".

Exemples :

  • 12 est positif et 12² = 144, donc √144 = 12.
  • √0 = 0 et √1 = 1.
  • √2 est le nombre positif dont le carré est égal à 2.

II- Propriétés

Si a et b sont deux nombres positifs, alors :

  • Le produit de deux racines carrées est égal à la racine carrée du produit.
  • √a x √b = √(a+b)
  • Le quotient de deux racines carrées est égal à la racine carrée du quotient.
    • √a/√b = √(a/b)
  • Attention : √a + √b ≠ √(a+b)   et   √a - √b ≠ √(a-b).

Exemples :

A = √32 x √2 = √(32+2) = √64 = 8

B = √27/√48 = √(27/18) = √(9/16) = √9/√16 = ¾

C = √16 + √9 = 4 + 3 = 7     //     √(16+9) = √25 = 5

Si a ≥ 0, alors √(a²) = √(axa) = √a x √a = (√a)² = a

III- Équations du type x² = a

Soit a un nombre relatif donné :

  • Si a ‹ 0, alors l’équation x² = a n’admet pas de solution.
  • Si a = 0, alors l’équation x² = a admet pour seule solution 0.
  • Si a › 0, alors l’équation x² = a admet deux solutions : √a et -√a.

Exemples :

  • L’équation x² = 7 a pour solutions √7 et -√7.
  • L’équation x² = -1 n’admet aucune solution.

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Olivier

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