Définition

Qu'est-ce qu'une fonction ? Mathématiquement, "une fonction de la variable x est un processus qui à chaque valeur de x associe un unique nombre". Plus simplement, imaginez vous une machine à nombres. Dans cette machine, vous entrez un nombre quelconque : la machine transforme ce nombre et vous en "fabrique" un nouveau. Reprenons. Votre machine à nombre est en réalité une fonction. Ici, nous appellerons cette fonction la fonction f. Le nombre quelconque que vous entrez est une variable x avec "x est un antécédent de f(x)". Enfin, le nombre qui "ressort" de la fonction est ici appellé f(x) ou "l'image de x par la fonction f". Si la fonction avait été la fonction g, le nombre sortant de la fonction aurait été g(x), etc... Si vous n'arrivez pas à visualiser une fonction, ne vous inquiétez pas, les exemples vous permettrons de mieux cerner cette nouvelle notion. Cependant, n'hésitez pas à relire ce paragraphe : il faut tout de même avoir en tête les définitions de fonction, d'image et d'antécédent.

Notation

Il existe plusieurs notations pour une même fonction. Par exemple, prenons la fonction f qui à un nombre associe le carré de ce nombre. Cela veut dire que lorsque l'on injecte un nombre dans la machine ou fonction, il ressort le carré de ce nombre : vous entrez 2, vous obtenez 4 ; vous entrez 3, vous obtenez 9... La fonction f peut alors être notée comme suit : 1)  f : x -> x2 qui se lit "à tout x on associe x2", Ou encore 2)  f(x) = x2 qui signifie exactement la même chose. Dans la suite de ce cours, nous emploierons plus communément la deuxième notation. Quelques exemples de fonctions : f(x) = 3x + 2 ou la fonction f qui à tout x associe 3x + 2. g(x) = 5x - 3 ou la fonction g qui à tout x associe 5x -3. d(x) = 2x ou la fonction d qui à tout x associe 2x. m(x) = 5 ou la fonction m qui à tout x associe 5. ... Ainsi, il existe une infinité de fonctions.

Utiliser les fonctions

Vous l'avez vu dans les différentes fonctions affichées plus haut, une "machine à nombres" ou fonction ne transforme pas les nombres que vous entrez au hasard, mais selon une "recette" précise. En effet, lorque l'on prend la fonction f définie par f(x) = x2, on sait qu'elle va nous donner le carré du nombre qu'on entre. Pour calculer l'image d'un nombre quelconque par une fonction, il suffit de remplacer la variable x par ce nombre en question. Exemples : 1) Prenons la fonction f définie par f(x) = 3x. On souhaite calculer l'image de 2 par la fonction f, c'est à dire qu'on va "disposer" le nombre 2 dans notre fonction. On remplace alors x par 2. f(2) = 3*2 =6. L'image de 2 par la fonction f, soit f(2), est égale à 6. Essayons maintenant de calculer l'image de 3 par la fonction f. On remplace x par 3. f(3) = 3*3 = 9. L'image de 3 par la fonction f, soit f(3), est égale à 9. 2) Prenons une autre fonction. Par exemple, la fonction g définie par g(x) = 2x +5. On souhaite calculer l'image de 5 par la fonction g, c'est à dire qu'on va "disposer" le nombre 5 dans notre fonction. On remplace alors x par 5. g(5) = 2*5 + 5 = 15. L'image de 5 par la fonction g, soit g(5), est égale à 15. Essayons maintenant de calculer l'image de 7 par la fonction g. On remplace x par 7. g(7) = 2*7 + 5 = 19. L'image de 7 par la fonction g, soit g(7), est égale à 19. Vous pouvez désormais vous amuser à calculer g(20) ou g(8) par exemple.

Quelques précisions

Voilà, vous savez maintenant vous "servir" d'une fonction. Mais reprenons un peu le vocabulaire, bien vite oublié à la partie I. Oui, vous savez, les histoires d'antécédents et d'images qui méritent quelques précisions, maintenant accessibles grâce aux explications données. Pour une variable ou nombre x quelconque, il n'y a toujours qu'une image (un résultat) par la fonction f. Par contre, pour une image donnée de la fonction f, il peut y avoir plusieurs antécédents, même si ce n'est pas toujours le cas. Exemple : Reprenons la fonction f définie par f(x) = x2. Soit l'image de 2 par la fonction f, c'est à dire que l'on "met" le nombre de 2 dans la fonction. On a alors : f(2) = 22 = 4. Il n'y a ici qu'une image : f(2) qui est égale à 4. Par contre, il y a plusieurs antécédents pour cette image. En effet, nous l'avons vu, f(2) = 22 = 4. Mais, si l'on calcule f(-2), f(-2) = (-2)2 = 4, on obtient aussi 4. Ainsi, (-2) et 2 sont les antécédents de 4 par la fonction f : ici, il y a plusieurs antécédents. Malheureusement, ou heureusement, je ne sais pas, ce cours se termine. Essayez maintenant celui sur les fonctions linéaires ou sur les fonctions affines, qui sont des fonctions particulières.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !

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