Introduction

En général, on connait la forme développée d'une expression, ou du moins on sait l'obtenir. La factorisation est plus difficile et demande un peu plus de travail. Essayons de déterminer différentes méthodes pour trouver la forme factorisée d'une expression littérale.

Définitions

Comment factoriser une expression ? Commençons par définir les différents termes utilisés dans ce cours.

Une expression littérale est une expression mathématique composée de nombres et de lettres, aussi appelées inconnues. Elle est composée de sommes, de différences, de produits et de quotients. On l'écrit, de manière générale, sous deux formes différentes : la forme développée et la forme factorisée.

La forme factorisée d'une expression littérale est l'écriture sous la forme d'un produit. La forme factorisée est la forme inverse de la forme développée. Elle permet de déterminer le signe de l'expression ainsi que les valeurs pour lesquelles elle s'annule.

Par exemple,

    \[(x+3)(3x-2)(5-x)\]

La forme développée est l'écriture la plus simplifiée possible, la plus lisible, la plus compréhensible. Par exemple, pour l'expression précédente, cela donne

    \[(3x^2+7x-6)(5-x)=3x^3+8x^2+41x-30\]

Attention à ne pas développer quand la consigne est de factoriser. Il ne faut pas confondre les deux !

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A partir d'un facteur commun

Qu'est ce qu'un facteur commun ? Passons à la première méthode qui permet de factoriser : l'utilisation d'un facteur commun.

Factoriser une expression est assez difficile. On retrouve plusieurs méthodes, comme par exemple la factorisation à partir d'un facteur commun. On va devoir utilisé la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition ainsi que la double distributivité.

Regardons différents exemples :

    \[5x + 10y = 5(x + 2y)\]

Ici on peut factoriser l'expression par le nombre 5, c'est un facteur commun aux deux termes de la somme. On obtient bien un produit.

    \[(4x+3)\times 2 + (4x+3)(1-x)\]

    \[=(4x+3)[2+(1-x)]\]

    \[=(4x+3)(3-x)\]

Ici on observe un facteur commun, c'est 4x+3. On peut donc le mettre en facteur c'est à dire déterminer par combien on doit le multiplier pour que l'égalité reste vraie. On peut constater, en redéveloppant que l'égalité est toujours vraie :

    \[=(4x+3)[2+(1-x)]\]

    \[=2(4x+3)+(4x+3)(1-x)\]

    \[5(2x + 5) - (2x + 5)(x - 9) \]

    \[= (2x+5)[5 - (x - 9)] = (2x + 5)(5 - x + 9)\]

    \[= (2x + 5)(14 - x)\]

Enfin, dans ce dernier exemple, le facteur commun est (2x+5). La méthode est la même que dans l'exemple précédent mais il est nécessaire de prendre garde au signe ! En effet, (2x+5) est multiplié dans un premier temps par 5 puis par -(x-9) d'où la factorisation (2x+5)[5 - (x - 9)]. Il est donc indispensable de conserver les parenthèses autour de (x-9), ce n'est pas seulement le x qui est négatif mais bien (x-9) !

 

A partir des identités remarquables

Comment utiliser les identités remarquables ? Voici le deuxième moyen de factoriser : l'utilisation des identités remarquables.

La seconde méthode pour factoriser une expression est avec les identités remarquables. Nous avons l'habitude de les utiliser pour développer mais il est aussi possible de les utiliser dans l'autre sens pour obtenir la forme factorisée.

Rappelons les identités remarquables :

    \[a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\]

    \[a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\]

et

    \[a^2-b^2=(a+b)(a-b)\]

Utilisons les pour factoriser des expressions, regardons des exemples :

    \[x^2 - 16 = x^2-4^2= (x + 4)(x - 4)\]

Ici, on remarque la 3ème identité remarquable, on l'applique donc pour obtenir un produit c'est à dire la forme factorisée.

    \[x^2-2x+1=x^2-2\times x \times 1 +1^2=(x-1)^2\]

On reconnait ici la deuxième identité remarquable. On a la forme développée au départ et on détermine la forme factorisée.

    \[4x^2+12x+9=(2x)^2+2\times 2x \times 3 +3^2\]

    \[=(2x+3)^2\]

On découvre ici la première identité remarquable. Les identités remarquables n'apparaissent pas toujours de façon évidente et il est nécessaire de chercher pour les faire apparaitre.

 

Application de la forme factorisée

Mais a quoi sert la forme factorisée ? En faite, elle permet de nombreuses applications.

Par exemple, on ne sait pas résoudre

    \[4x^2+12x+9=0\]

Par contre, si l'on passe à la forme factorisée, on sait résoudre cette équation :

    \[(2x+3)^2=0\]

équivaut à 2x+3=0 ce qui signifie

    \[x=\frac{-3}{2}\]

De la même façon, il est difficile de résoudre

    \[5(2x + 5) - (2x + 5)(x - 9)=0\]

et en développant on n'y arrivera pas non plus. On utilise alors la forme factorisée

    \[ (2x + 5)(14 - x)=0\]

ce qui revient à 2x+5=0 ou 14-x=0.

La forme factorisée nous permet donc de déterminer les valeurs pour lesquelles une expression littérale est nulle. On appelle ces valeurs les "racines".

Une autre application est de déterminer le signe d'une expression littérale.

Par exemple, si l'on veut déterminer les valeurs pour lesquelles l'expression

    \[x^2-2x+1\]

est positive, on cherche

    \[x^2-2x+1>0\]

Pour cela, il est plus simple de passer par la forme factorisée :

    \[(x-1)^2>0\]

Comme c'est un carré, l'expression est positive pour toutes les valeurs sauf pour x-1=0 c'est à dire x=1. Les solutions sont tous les nombres sauf 1.

 

Exercices

Comment résoudre une équation ? Terminons ce cours par des applications sur des exercices.

Appliquons ce cours avec différents exercices.

Exercice 1 :

Déterminer la forme factorisée des expressions littérales suivantes :

    \[10x+2y+5(x+y)\]

    \[(2x+5)(3-x)+(2x+5)\]

    \[(3x+7)\times 4-(4-x)(3x+7)\]

    \[4x^2-25\]

et

    \[9x^2-12x+2\]

 

Détaillons les calculs :

Pour la première expression, on constate que le facteur commun est 2.

    \[10x+2y+6(x+y)=2(5x+y+3(x+y))\]

    \[=2(8x+4y)=8(2x+y)\]

On a simplifié au maximum la factorisation.

Pour la deuxième expression, on observe que le facteur commun est (2x+5).

    \[(2x+5)(3-x)+(2x+5)\]

    \[=(2x+5)[(3-x)+1]\]

    \[=(2x+5)(-x+4)\]

En effet, le facteur commun apparait (3-x) fois dans le premier terme de la somme et une fois dans le second.

Pour la troisième expression, on voit que le facteur commun est (3x+7).

    \[(3x+7)\times 4-(4-x)(3x+7)\]

    \[=(3x+7)[4-(4-x)]\]

Il est important de ne pas oublier la parenthèse autour de (4-x).

    \[=x(3x+7)\]

Pour la quatrième expression, on observe la 3ème identité remarquable. On la détaille pour la faire clairement apparaitre.

    \[4x^2-25=(2x)^2-5^2\]

    \[=(2x+5)(2x-5)\]

Enfin, pour la dernière expression, on fait apparaitre la deuxième identité remarquable.

    \[9x^2-12x+4=(3x)^2-2\times 3x \times 2+2^2\]

    \[=(3x-2)^2\]

 

Exercice 2 :

Déterminer, pour les expressions littérales de l'exercice précédent, les valeurs pour lesquelles elles s'annulent.

 

Pour cela, il est nécessaire d'utiliser les formes factorisées. Récapitulons les résultats de l'exercice précédent dans un tableau :

Forme développéeForme factorisée
10x+2y+5(x+y)8(2x+y)
(2x+5)(3-x)+(2x+5)(2x+5)(-x+4)
4(3x+7)-(4-x)(3x+7)x(3x+7)
4x²-25(2x+5)(2x-5)
9x²-12x+2(3x-2)²

On résout l'équation

    \[8(2x+y)=0\]

cela revient à 2x+y=0 c'est à dire y=-2x.

Passons à la seconde,

    \[(2x+5)(-x+4)=0\]

on obtient soit 2x+5=0 soit -x+4=0. Donc x=-2,5 ou x=4.

Ensuite,

    \[x(3x+7)=0\]

alors x=0 ou 3x+7=0. On a finalement x=0 ou

    \[x=\frac{-7}{3}\]

Pour la quatrième équation

    \[(2x+5)(2x-5)=0\]

on obtient 2x+5=0 ou 2x-5=0. Ainsi, x=-2,5 ou x=2,5.

Enfin, pour la dernière expression, on résout

    \[(3x-2)^2=0\]

c'est à dire 3x-2=0 d'où

    \[\frac{2}{3}\]

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Elise

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