Définition

On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est 1.

Exemple : Les nombres 44 et 21 sont-ils premiers entre eux ?

21 = 1 x 21 = 3 x 7                                            44 = 1 x 44 = 2 x 22 = 4 x 11

Les diviseurs de 21 : 1 ; 21 ; 3 ; 7             Les diviseurs de 44 : 1 ; 44 ; 2 ; 22 ; 4 ; 11

Le PGCD (21 ; 44) = 1.

Les nombres 21 et 44 sont premiers entre eux.

Application

Deux nombres sont-ls premiers entre eux ?

Exemple : Les nombres 10 205 et 7 654 sont-ils premeirs entre eux ?

Les nombres 10 205 et 7 654 sont grands et les règles de divisibilités ne eprmetten par de conclure. Nous allons donc appliquer l'algorithme d'Euclide pour trouver le PGCD.

Si celui-ci et égal à 1 alors les nombres seront premiers entre eux.

10 205 = 7 654 x 1 + 2 551

7 654 = 2 51 x 3 + 1

2 551 = 1 x 2 551 = 0

Le PGCD de 10 205 et 7 654 est 1.

Les nombres 10 205 et 7 654 sont premiers entre eux.

Fraction sous forme irréductible

Une fraction irréductible est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.

- Si le numérateur ou le dénominateur n'est pas trop grand : on utilise les critères de divisibilité.

Exemple : Simplifier 28/70                   28/70 = 2 x 7 x 2 / 5 x 7 x 2 = 2/5

- sinon on cherche le PGCD du numérateur et du dénominateur et on simplidie par ce PGCD.

Exemple : Ecrire sous forme irréductible la fraction 22 044 / 26 052 en donnant le détail de tous les calculs.

MéthodeExemple
On applique l'algorithme d'Euclide pour trouver le PGCD de 22 044 et 26 05226 052 = 22044 x 1 +  4008 22 044 = 4 008 x 5 + 2 004 4 008 = 2 004 x 2 + 0 Donc PGCD (26 052 ; 22044 ) = 2 004
On divise le numérateur et le dénominateur par le PGCD .. et on est certain que la fraction trouvée et une fraction irréductible26 052 : 2 004 = 13 22 044 : 2 004 = 11 Donc 22 044/26 052 = 11/13

Problème concret

Exemple : Un confiseur a reçu 1 872 coussins lyonnais et 2 574 cocons. Il désire réaliser de sachets identiques en utilisant les confiseries.

                a) Quel sera le nombre maximal de sachets identiques ? Justifier clairement la réponse.

                b) Quelle sera alors l composition de chaque sachet ?

a) (on trouve le PGCD de 1 872 et 2 574)

PGCD (2 574 ; 1 872) = 234

Le nombre de sachets identiques doit être un diviseur commun de 1872 (coussins) et 2574 (cocons) et comme il doit être maximal, ce sera le PGCD de 2574 et 1872.

b) 1872 : 234 = 8

    2574 : 234 = 11

Les 234 sachets contiendront chacun 8 coussins et 11 cocons.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !

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