Le PGCD de deux nombres entiers a et b est le nombre entier le plus grand qui divise à la fois a et b.

On le note PGCD(a;b)

Exemple

6 et 10 sont tous les deux divisibles par 2.
2 EST LE SEUL DIVISEUR COMMUN à 6 ET 10
6=2*3; 10=2*5 donc PGCD(6;10)=2

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Décomposition en produit de facteurs premiers

Tout nombre entier est le produit de nombres premiers. Pour obtenir cette décomposition on le divise tour à tour par les nombres premiers dans leur ordre croissant.
Exemple:
180/2=90
90/2=45
45/3=15
15/3=5
5/5=1
Donc 180=2*2*3*3*5
=2²*3²*5

Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs à l'un et à l'autre.

Exemple

180/2=90 et 126/2=63
90/2=45 63/3=21
45/3=15 21/3=7
15/3=5 7/7=1
5/5=1

Donc PGCD(180;126)=2*3*3=18

Algorithme d'Euclide

On procède par divisions successives, em remplaçant à chaque fois le dividende par le diviseur précédent, et le diviseur par le reste précédent.
Le dernier reste non nul est le PGCD.

Exemple :
180=126*1+54
126=54*2+18
54=18*3+0
Donc le PGCD(180;126)=18

Nombres premiers entre eux

Deux nombres a et b sont dits premiers entre eux lorsque leur PGCD est 1.
Deux nombres divisés par leur PGCD sont premiers entre eux.
Cela permet entre autre de rendre une fraction irréductible.
En effet, pour rendre irréductible une fraction, il suffit de diviser son numérateur et son dénominateur par leur PGCD.

Exemple

PGCD(6;10)=2
6/2=3 et 10/2=5
3 et 5 sont premiers entre eux.
6/10=3/5 et 3/5 est irréductible.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !