Introduction

En statistique ou encore en géométrie, on retrouve le mot "médiane" un peu partout. Cependant, celui-ci n'a pas toujours le même sens. Regardons ses différents sens et ses différentes applications dans le monde des mathématiques.

La médiane d'une série statistique

Définition

Comment calculer la médiane ? De manière générale, la médiane signifie la moitié. Regardons dans un premier temps ce que représente la médiane en statistique.

Une série statistique est une liste de mesures, de valeurs, qui ne sont pas forcément des nombres. En général, ce sont des valeurs obtenues suite à une étude ou un relevé de mesure et que l'on va vouloir étudier.

Une fois la série statistique obtenue, on commence par la comprendre grâce à des indicateurs simples : la moyenne, l'étendue, la médiane et les quartiles.

En classe de troisième et plus généralement en mathématiques, nos séries statistiques seront composées de nombres.

Pour étudier la médiane d'une série statistique, on commence par ranger les valeurs dans l'ordre croissant. Lorsque les valeurs d'une série statistique sont rangées par ordre croissant, la médiane est le nombre qui partage la série en deux parties possédant chacune le même nombre de valeur. Ainsi, la médiane est le nombre tel que la moitié des valeurs sont inférieures au nombre et la moitié des valeurs sont supérieures au nombre.

Regardons comment calculer la médiane à travers des exemples.

Exemples

Comment étudier une série statistique ? Maintenant que nous savons ce qu'est la médiane, on peut maintenant s'attaquer à des exercices.

Regardons des exemples simples de série statistique. Distinguons deux cas : lorsque la série statistique possède un nombre pair de valeurs et lorsque la série statistique possède un nombre impair de valeurs.

  • Nombre impair de valeurs :

Prenons pour exemple la série : [2, 24, 6, 3, 7, 4, 12, 18, 16, 19, 20]

On met les valeurs dans l'ordre croissant. On obtient

[2, 3, 4, 6, 7, 12, 16, 18, 19, 20, 24]

L'effectif total est de onze valeurs. La médiane est la valeur qui partage la série en deux parts égales. Donc la médiane est la 6ème valeur. En effet, [11=2times5+1] La médiane est la 5ème+1 valeur.

Donc la médiane de cette série est le nombre 12.

  • Nombre pair de valeurs :

Soit la série statistique : [5, 9, 7, 2, 12, 15, 4, 6, 13, 18]

On place les valeurs dans l'ordre croissant : [2, 4, 5, 6, 7, 9, 12, 13, 15, 18]

L'effectif total de la série est de 10 valeurs. On peut séparer la série en deux parts égales qui ont chacune cinq valeurs.

Ainsi, la médiane de la série statistique est la moyenne entre la 5ème et la 6ème valeur.

Ici, la 5ème valeur est le chiffre 7 et la 6ème valeur est le chiffre 9. Donc la médiane est 8. En effet, [frac{7+9}{2}=8] 8 est le milieu entre 7 et 9.

Regardons maintenant un exemple un peu plus compliqué. Il arrive qu'on répertorie les données dans des tableaux lorsque l'on en a beaucoup et que plusieurs d'entre elles se répètent.

Nombre d'élèves247154361
Note obtenue7810111314151819

Le nombre total d'élèves, l'effectif total de la série est de 33 élèves. On peut réécrire la série entièrement en mettant les nombres dans l'ordre croissant. Mais ici le tableau répertorie déjà les valeurs dans l'ordre croissant.

La médiane est la valeur qui divise la série en deux. On a [33=16times 2 +1]

On peut diviser la série en deux parts égales de 16 valeurs. Il reste une valeur supplémentaire. La médiane est la 17ème valeur. La médiane est 13.

Les quartiles

Comment calculer les quartiles ? De manière comparable à la médiane, on trouve les quartiles. Ils sont également des indicateurs représentatifs d'une série statistique qui permettent de la comprendre.

Le premier quartile est la plus petite valeur telle qu'au moins 25% des valeurs de la série (un quart des valeurs) soient inférieures ou égales à celle-ci. Le troisième quartile est la plus petite valeur telle qu'au moins 75% des valeurs de la série (trois quarts des valeurs) soient inférieures ou égales à celle-ci. Reprenons nos exemples précédemment étudiés. On avait la série [2, 3, 4, 6, 7, 12, 16, 18, 19, 20, 24] que l'on avait mis dans l'ordre croissant et dont l'effectif total était 11. Que représente un quart des valeurs ? On calcule un quart de l'effectif total. [frac{1}{4}times 11=2,75] Le premier quartile est donc la troisième valeur. C'est le plus petit entier supérieur à 2,75. C'est la plus petite valeur de la série qui est supérieure ou égale à 25% des valeurs de la série. On fait de même pour le troisième quartile. On calcule les trois quarts de l'effectif total. [frac{3}{4}times 11=8,25] Le troisième quartile est donc la 9ème valeur. C'est 19. Reprenons maintenant notre tableau de valeurs. Notre effectif total est de 33. Pour obtenir le premier quartile on calcule un quart de l'effectif. [frac{1}{4}times33=8,25] Le premier quartile est la 9ème valeur. D'après le tableau, le premier quartile est 10. Pour obtenir le troisième quartile, on calcule les trois quarts de l'effectif. [frac{3}{4}times33=24,75] Donc le troisième quartile est la 25ème valeur, c'est 15.

La médiane d'un triangle

Regardons maintenant se que représente la médiane en géométrie et plus particulièrement dans le triangle. Au collège, en classe de 4ème, on étudie la médiane dans le triangle. La médiane d'un côté est la droite qui passe par le milieu de ce côté et par le sommet opposé à ce côté. On peut donc tracer trois médianes dans le triangle. Ses trois droites sont concourantes. Leur intersection nous donne le centre de gravité du triangle. Attention à ne pas confondre médiane et médiatrice ! D'ailleurs, on voit bien que la médiane représentée ci dessous n'est pas perpendiculaire au côté ! Mais en plus de pouvoir déterminer le centre de gravité, la médiane permet de séparer le triangle en deux triangles d'aires égales.  

Qu'est ce qu'une médiane dans un triangle ? Par exemple, dans le triangle ABC, nous avons tracé la médiane du côté [AC]. En plaçant le point D, milieu du segment [AC], on peut en effet tracer la droite passant par le point D et le point B. Les triangles BDC et ADB ont la même aire.

De plus, on remarque que le centre de gravité se trouve au deux tiers de chaque médiane en partant du sommet. Un cas particulier est le triangle rectangle. Dans celui-ci, la longueur de la médiane issue du sommet de l'angle droit est égale à la moitié de la longueur de l'hypoténuse.

Comment est la médiane d'un triangle rectangle ? Soit ABC un triangle rectangle en B. On trace la médiane du côté [AC], c'est à dire la médiane de l'hypoténuse. On a que 2BD=AC.

 

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Elise

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