Représentation de fonctions

Définition : Etant donné un nombre a, le procédé qui a tout nombre x fait correspondre le nombre ax s’appelle une fonction linéaire.

Si f désigne ce procédé, on note f(x) le nombre ax. f(x) est l’image de x par f.

Remarques : - On note donc f(x) = ax.

- On note aussi f : x ax.

Propriété:Toute situation de proportionnalité peut se traduire mathématiquement par une fonction linéaire.

Définition:On se place dans le plan muni d'un repère (0,I,J). On appelle représentation graphique d'une fonction linéaire, l'ensemble des points du plan de coordonnées (x, f(x)).

Propriété : La représentation graphique d’une fonction linéaire f : x ax est la droite d’équation y = ax. a s'appelle le coefficient directeur de la droite.

Remarques : - Comme f(0) = a * 0, la représentation graphique de f passe par le point de coordonnées (0 ; 0).

- Comme f(1) = a, la représentation graphique de f passe par le point de coordonnées (1 ; a).

On connaît un nombre et son image.

Exemple : Déterminer la fonction linéaire telle que 2 a pour image 9.

La fonction linéaire cherchée est de la forme : f(x) = ax.

Le problème revient donc à chercher a tel que f(2) = 9.

On écrit donc l'équation suivante :

2 * a = 9 d'où a = 9/2 et a =4,5.

La fonction linéaire cherchée est donc f(x) = 4,5x.

Définition : Etant donné deux nombres a et b, le procédé qui a tout nombre x fait correspondre le nombre ax + b s’appelle une fonction affine.

Si f désigne ce procédé, on note f(x) le nombre ax + b. f(x) est l’image de x par f.

Remarques : - On note donc f(x) = ax + b.

- On note aussi f : x ax + b.

Cas particuliers :

Si b = 0, f(x) = ax qui est la fonction linéaire.

Si a = 0, f(x) = b qui est la fonction constante.

Définition: On se place dans le plan muni d'un repère (0,I,J). On appelle représentation graphique d'une fonction affine, l'ensemble des points du plan de coordonnées (x, f(x)).

Propriété : La représentation graphique d’une fonction affine f : x ax + b est la droite d’équation y = ax + b. a s'appelle le coefficient directeur de la droite; b s'appelle l'ordonnée à l'origine.

Remarques : - Comme f(0) = a * 0 + b, la représentation graphique de f passe par le point de coordonnées (0 ; b).

On connaît deux nombres et leurs images.

Exemple : Déterminer la fonction affine telle que 3 a pour image 9 et –2 a pour image –1.

La fonction affine cherchée est de la forme : f(x) = ax + b.

Le problème revient donc à chercher a et b tels que f(3) = 9 et f(-2) = -1.

On a: et .

On a également: et

On écrit donc le système suivant :

En cour de math, la fonction affine cherchée est donc f(x) = 2x + 3.