Fonctions linéaires. Proportionnalité. Fonctions affines.
1. Fonctions linéaires. Proportionnalité.
1.1. Généralités.
1.1.1 Définition.
Définition : Etant donné un nombre a, le procédé qui a tout nombre x fait correspondre le nombre ax s’appelle une fonction linéaire. Si f désigne ce procédé, on note f(x) le nombre ax. f(x) est l’image de x par f. Remarques : - On note donc f(x) = ax. - On note aussi f : x ax.
1.1.2. Lien avec la proportionnalité
Propriété:Toute situation de proportionnalité peut se traduire mathématiquement par une fonction linéaire.
1.1.3. Représentation graphique d’une fonction linéaire.
Définition:On se place dans le plan muni d'un repère (0,I,J). On appelle représentation graphique d'une fonction linéaire, l'ensemble des points du plan de coordonnées (x, f(x)).
Propriété : La représentation graphique d’une fonction linéaire f : x ax est la droite d’équation y = ax. a s'appelle le coefficient directeur de la droite.
Remarques : - Comme f(0) = a * 0, la représentation graphique de f passe par le point de coordonnées (0 ; 0). - Comme f(1) = a, la représentation graphique de f passe par le point de coordonnées (1 ; a).
1.2. Détermination d’une fonction linéaire.
On connaît un nombre et son image. Exemple : Déterminer la fonction linéaire telle que 2 a pour image 9. La fonction linéaire cherchée est de la forme : f(x) = ax. Le problème revient donc à chercher a tel que f(2) = 9. On écrit donc l'équation suivante : 2 * a = 9 d'où a = 9/2 et a =4,5. La fonction linéaire cherchée est donc f(x) = 4,5x.
2. Fonctions affines.
2.1. Généralités.
2.1.1. Définition.
Définition : Etant donné deux nombres a et b, le procédé qui a tout nombre x fait correspondre le nombre ax + b s’appelle une fonction affine. Si f désigne ce procédé, on note f(x) le nombre ax + b. f(x) est l’image de x par f. Remarques : - On note donc f(x) = ax + b. - On note aussi f : x ax + b. Cas particuliers : Si b = 0, f(x) = ax qui est la fonction linéaire. Si a = 0, f(x) = b qui est la fonction constante.
2.1.2. Représentation graphique d’une fonction affine.
Définition: On se place dans le plan muni d'un repère (0,I,J). On appelle représentation graphique d'une fonction affine, l'ensemble des points du plan de coordonnées (x, f(x)).
Propriété : La représentation graphique d’une fonction affine f : x ax + b est la droite d’équation y = ax + b. a s'appelle le coefficient directeur de la droite; b s'appelle l'ordonnée à l'origine.
Remarques : - Comme f(0) = a * 0 + b, la représentation graphique de f passe par le point de coordonnées (0 ; b).
2.2. Détermination d’une fonction affine.
On connaît deux nombres et leurs images. Exemple : Déterminer la fonction affine telle que 3 a pour image 9 et –2 a pour image –1. La fonction affine cherchée est de la forme : f(x) = ax + b. Le problème revient donc à chercher a et b tels que f(3) = 9 et f(-2) = -1. On a: et . On a également: et On écrit donc le système suivant : La fonction affine cherchée est donc f(x) = 2x + 3.
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