Fonctions linéaires. Proportionnalité.
Fonctions affines.
1. Fonctions linéaires. Proportionnalité.
1.1. Généralités.
1.1.1 Définition.
Définition : Etant donné un nombre a, le procédé qui a tout nombre x fait correspondre le nombre ax s’appelle une fonction linéaire.
Si f désigne ce procédé, on note f(x) le nombre ax. f(x) est l’image de x par f.
Remarques : - On note donc f(x) = ax.
- On note aussi f : x ax.
1.1.2. Lien avec la proportionnalité
Propriété:Toute situation de proportionnalité peut se traduire mathématiquement par une fonction linéaire.
1.1.3. Représentation graphique d’une fonction linéaire.
Définition:On se place dans le plan muni d'un repère (0,I,J). On appelle représentation graphique d'une fonction linéaire, l'ensemble des points du plan de coordonnées (x, f(x)).
Propriété : La représentation graphique d’une fonction linéaire f : x ax est la droite d’équation y = ax. a s'appelle le coefficient directeur de la droite.
Remarques : - Comme f(0) = a * 0, la représentation graphique de f passe par le point de coordonnées (0 ; 0).
- Comme f(1) = a, la représentation graphique de f passe par le point de coordonnées (1 ; a).
1.2. Détermination d’une fonction linéaire.
On connaît un nombre et son image.
Exemple : Déterminer la fonction linéaire telle que 2 a pour image 9.
La fonction linéaire cherchée est de la forme : f(x) = ax.
Le problème revient donc à chercher a tel que f(2) = 9.
On écrit donc l'équation suivante :
2 * a = 9 d'où a = 9/2 et a =4,5.
La fonction linéaire cherchée est donc f(x) = 4,5x.
2. Fonctions affines.
2.1. Généralités.
2.1.1. Définition.
Définition : Etant donné deux nombres a et b, le procédé qui a tout nombre x fait correspondre le nombre ax + b s’appelle une fonction affine.
Si f désigne ce procédé, on note f(x) le nombre ax + b. f(x) est l’image de x par f.
Remarques : - On note donc f(x) = ax + b.
- On note aussi f : x ax + b.
Cas particuliers :
Si b = 0, f(x) = ax qui est la fonction linéaire.
Si a = 0, f(x) = b qui est la fonction constante.
2.1.2. Représentation graphique d’une fonction affine.
Définition: On se place dans le plan muni d'un repère (0,I,J). On appelle représentation graphique d'une fonction affine, l'ensemble des points du plan de coordonnées (x, f(x)).
Propriété : La représentation graphique d’une fonction affine f : x ax + b est la droite d’équation y = ax + b. a s'appelle le coefficient directeur de la droite; b s'appelle l'ordonnée à l'origine.
Remarques : - Comme f(0) = a * 0 + b, la représentation graphique de f passe par le point de coordonnées (0 ; b).
2.2. Détermination d’une fonction affine.
On connaît deux nombres et leurs images.
Exemple : Déterminer la fonction affine telle que 3 a pour image 9 et –2 a pour image –1.
La fonction affine cherchée est de la forme : f(x) = ax + b.
Le problème revient donc à chercher a et b tels que f(3) = 9 et f(-2) = -1.
On a: et .
On a également: et
On écrit donc le système suivant :
En cour de math, la fonction affine cherchée est donc f(x) = 2x + 3.
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bonjour, j’ai besoin d’aide car je suis perdu, le confinement et les cours en visio ne m’aide pas
soit f une fonction linéaire telle que (-2) a pour image 9
a) determiner f
b) calculer ensuite f(3)
c) calculer l’image de 18
d) calculer l’antecedent de 18
e) quel est le nombre ayant pour image -4
Bonjour, nous ne faisons pas les devoirs des élèves mais n’hésitez pas à prendre un cours avec un de nos professeurs si vous désirez de l’aide personnalisée 🙂