Introduction

Pour effectuer une translation ou encore pour identifier le coefficient directeur d'une droite, les vecteurs nous offrent de nombreuses applications en géométrie. Commençons par définir ce qu'est un vecteur et étudions ses différentes propriétés et applications.

Définition d'un vecteur

Qu'est ce qu'un vecteur ? Commençons par découvrir se qu'est un vecteur et comment le définir.

Un vecteur est un objet mathématique que l'on représente graphiquement sous forme d'une flèche. En effet, un vecteur est défini par sa longueur (longueur du segment), sa direction (position, orientation de la flèche) et son sens (vers la droite ou la gauche). Il peut être noté de deux façons différentes : soit nous connaissons le point de départ A et le point d'arrivé B et on note le vecteur

    \[\overrightarrow{AB}\]

soit nous n'avons aucune information sur le vecteur et nous le notons

    \[\overrightarrow{u}\]

Il est important de ne pas oublier la flèche afin de ne pas confondre avec la longueur du segment. En effet, le vecteur

    \[\overrightarrow{AB}\]

est de longueur AB.

Il est inutile de savoir d'où part un vecteur. Par exemple, les vecteurs

    \[\overrightarrow{AB}\]

    \[\overrightarrow{u}\]

et

    \[\overrightarrow{v}\]

ci dessous sont tous égaux.

Qu'est ce que deux vecteurs égaux ? Ces trois vecteurs sont égaux car ils ont même longueur, même sens et même direction. Leurs positions dans l'espace n'ont aucune importance.

On appelle translation qui transforme A en B le déplacement rectiligne de longueur AB et de direction la droite (AB). En fait, cela correspond au vecteur

    \[\overrightarrow{AB}\]

On peut dire que

    \[\overrightarrow{u}\]

est la translation de vecteur qui transforme A en B.

On appelle l'image B d'un point A par la translation de vecteur

    \[\overrightarrow{u}\]

le point qui se trouve au bout du vecteur

    \[\overrightarrow{AB}\]

c'est à dire le point à l'extrémité du vecteur

    \[\overrightarrow{u}\]

lorsque l'origine du vecteur est le point A.

 

Propriétés d'un vecteur

Le vecteur opposé du vecteur

    \[\overrightarrow{u}\]

  est

    \[\overrightarrow{-u}\]

c'est le vecteur qui a même direction, même longueur mais qui est de sens contraire à

    \[\overrightarrow{u}\]

De la même façon, le vecteur opposé à

    \[\overrightarrow{AB}\]

est

    \[\overrightarrow{-AB}\]

ce qui correspond au vecteur

    \[\overrightarrow{BA}\]

Tout vecteur

    \[\overrightarrow{AA}\]

correspond au vecteur nul. C'est un vecteur, il est donc caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur, mais sa longueur est nulle.

Pour additionner deux vecteurs, on les met l'un au bout de l'autre, la somme des deux vecteurs est alors le vecteur qui part de l'origine du premier et qui arrive au bout du deuxième.

Comment additionner deux vecteurs ? On place le point de départ du vecteur u au point B, c'est à dire à l'extrémité du vecteur d'origine A et de longueur AB.

L'addition du vecteur

    \[\overrightarrow{AB}\]

et du vecteur

    \[\overrightarrow{u}\]

donne le vecteur

    \[\overrightarrow{AM}\]

d'après le graphique ci-dessus. On note

    \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AM}\]

On obtient alors ce qu'on appelle la relation de Chasles, qui permet d'additionner des vecteurs :

    \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}\]

On a de la même façon la relation

    \[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}\]

Pour soustraire deux vecteurs, on additionne le premier avec l'opposé du deuxième, c'est à dire on additionne le premier avec le deuxième que l'on a multiplié par (-1) ou encore le deuxième auquel on a inversé le sens.

On peut également multiplier un vecteur

    \[\overrightarrow{v}\]

par un nombre, par un scalaire. Par exemple, si on multiplie un vecteur par 3 on obtient un vecteur de même direction, de même sens, mais dont la longueur est multipliée par 3. On le notera

    \[3\overrightarrow{v}\]

 

Coordonnées d'un vecteur

Avec deux vecteurs perpendiculaires de même origine et de même longueur, on peut former ce que l'on appelle un repère orthogonal. Si de plus, les vecteurs

    \[\overrightarrow{i}\]

et

    \[\overrightarrow{j}\]

sont de longueur 1 (ou de norme 1), on dit que le repère est orthonormé. Souvent notée

    \[(0,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})\]

c'est le repère que nous utilisons habituellement pour tracer la représentation graphique d'une fonction, comme une droite par exemple. Ainsi, on peut repérer des points dans un plan à l'aide de coordonnées.

Qu'est ce qu'un repère orthonormé ? Par exemple, voici un repère orthonormé (0,i,j) où i et j sont des vecteurs perpendiculaires entre eux et chacun de longueur 1. On peut alors placer des points et déterminer leurs coordonnées, comme nous l'avons fait pour les points Q et R. On a également tracé la droite (QR) et le vecteur QR.

 

Graphiquement, les coordonnées d'un vecteur se déterminent en étudiant la distance à parcourir en abscisse et en ordonnée pour aller de l'origine à l'extrémité du vecteur. Ainsi, on regarde en partant de l'origine du vecteur de "combien on avance ou recule" (abscisse du vecteur) et de "combien on monte ou descend" (ordonnée du vecteur) afin d'atteindre le point à l'autre extrémité du vecteur.

Prenons un exemple, en déterminant graphiquement les coordonnées de notre vecteur

    \[\overrightarrow{QR}\]

aussi appelé

    \[\overrightarrow{v}\]

présent au dessus. En partant de Q, on avance de 3 et on descend de 1 pour arriver à R. Ainsi, le vecteur a pour coordonnées

    \[\overrightarrow{QR}(3,-1)\]

Pour calculer les coordonnées d'un vecteur lorsque l'on connait les coordonnées des points aux extrémités du vecteur, on utilise la formule suivante :

Soient A et B des points de coordonnées respectives

    \[(x_A,y_A)\]

et

    \[(x_B,y_B)\]

Alors

    \[\overrightarrow{AB}(x_B-x_A,y_B-y_A)\]

Par exemple, pour le vecteur

    \[\overrightarrow{QR}\]

on obtient

    \[(5-2,3-4)=(3,-1)\]

On peut calculer la distance entre deux points A et B, notée AB, c'est à dire la longueur (aussi appelée la norme) du vecteur

    \[\overrightarrow{AB}\]

La formule est

    \[AB=(\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\]

Cela se démontre en appliquant le théorème de Pythagore, où AB est l'hypoténuse.

Calculons la longueur QR. Cela donne

    \[QR=\sqrt{(x_R-x_Q)^2+(y_R-y_Q)^2}\]

    \[=\sqrt{3^2+(-1)^2}=\sqrt{10}\]

On peut également déterminer les coordonnées du point situé au milieu d'un segment. Pour cela, il suffit de calculer la moyenne entre l’abscisse de A et de B et la moyenne entre l'ordonnée de A et de B. On appelle M le milieu du segment AB, cela donne

    \[M(\frac{x_A-x_B}{2},\frac{y_B-y_A}{2})\]

Lorsque deux vecteurs ont même direction (ce qui correspond à "parallèles") on dit que les vecteurs sont colinéaires. Ainsi, deux vecteurs

    \[\overrightarrow{u}\]

et

    \[\overrightarrow{v}\]

sont colinéaires s'il existe un nombre k tel que

    \[\overrightarrow{u}= k \overrightarrow{v}\]

c'est à dire qu'un vecteur est un multiple de l'autre.

Par exemple, les vecteurs

    \[\overrightarrow{u}(2;4)\]

et

    \[\overrightarrow{v}(1;2)\]

sont colinéaires car

    \[2\overrightarrow{v} = \overrightarrow{u}\]

Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Lorsque les vecteurs

    \[\overrightarrow{AB}\]

et

    \[\overrightarrow{CD}\]

sont colinéraires, le quadrilatère ABDC est un parallélogramme puisque les segment AB et DC sont parallèles et de même longueur.

 

Application au coefficient directeur d'une droite

Pour finir, revenons aux fonctions affines. On sait qu'elles peuvent être représentées dans un repère sous forme d'une droite puisqu'elles ont pour équation y=ax+b où a est le coefficient directeur de la droite et b l'ordonnée à l'origine. On remarque que le coefficient directeur de la droite se mesure graphiquement de la même façon que les coordonnées d'un vecteur.

En effet, pour le coefficient directeur on regarde en partant d'un point de la droite de "combien on avance ou recule", que l'on note

    \[\triangle x\]

et de "combien on monte ou descend"

    \[\triangle y\]

afin d'atteindre un autre point de la droite. Le coefficient directeur est alors

    \[\frac{\triangle y}{\triangle x}\]

On se demande alors quel est le lien avec les vecteurs ? En fait, le coefficient directeur correspond à la pente de la droite, c'est à dire l'inclinaison de la droite, ce qui correspond tout à fait à la définition que nous avons donné à la direction d'un vecteur. Ainsi, on dira que le vecteur

    \[\overrightarrow{AB}\]

est un vecteur directeur de la droite (AB).

 

Exercice

Déterminer les coordonnées du vecteur

    \[\overrightarrow{AB}\]

pour A(3;5) et B(4;1); pour A(-4;3) et B(5;2) et pour A(6;3) et B(1;-3).

Déterminer ensuite la longueur des segments [AB] respectifs.

 

Commençons par déterminer les coordonnées des vecteurs. On utilise la formule

    \[\overrightarrow{AB}(x_B-x_A,y_B-y_A)\]

Répertorions les résultats dans un tableau :

Coordonnées des points A et BCoordonnées du vecteur AB
A(3;5) et B(4;1)(4-3;1-5)=(1;-4)
A(-4;3) et B(5;2)(5+4;2-3)=(9;-1)
A(6;3) et B(1;-3)(1-6;-3-3)=(-5;-6)

Maintenant, on peut utiliser les valeurs que l'on a obtenu pour calculer AB. On utilise la formule

    \[AB=(\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\]

Comme on connait déjà les coordonnées du vecteur

    \[\overrightarrow{AB}(x;y)\]

On a simplement à calculer

    \[AB=(\sqrt{x^2+y^2})\]

Répertorions les résultats dans un tableau :

Coordonnées du vecteur ABLongueur AB
(1;-4)√(1²+(-4)²)=√(1+16)=√17
(9;-1)√(9²+(-1)²)=√(81+1)=√82
(-5;-6)√((-5)²+(-6)²)=√(25+36)=√61

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Elise

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