Introduction

Résoudre une équation du premier degré, nous savons déjà le faire. Mais qu'en est-il des équations de degré 2 ? Est il possible de les résoudre ? Cherchons à comprendre comment s'étudie un polynôme du second degré et les différentes propriétés qu'il cache.

Définition et propriétés

Qu'est ce qu'un polynôme ? Commençons par définir et comprendre ce qu'est un polynôme du second degré.

Tout d'abord un polynôme c'est quoi ? C'est une expression formée de sommes et de produits de constantes et d'indéterminées, souvent notée x, y, z etc...  De plus, on parle de fonction polynomiale lorsqu'à tout x on associe un polynôme en fonction de x. Dans notre cas, nous étudions des polynômes à une seule inconnue. On pourra donc confondre les termes "polynôme" et "fonction polynomiale".

Un polynôme de degré 2 (ou encore du second degré) est une expression du type: ax² + bx + c avec a≠0 où x est l'inconnue à déterminer et a,b et c des nombres. Il est indispensable que a soit non nul, si non le polynôme n'est plus de degré 2. Par exemple,

    \[3x^2+x-1\]

et

    \[2x^2+4\]

sont des polynômes du second degré. Un polynôme à trois termes est appelé un trinôme.

Regardons les différentes propriétés de ces polynômes.

La représentation graphique d'un polynôme du second degré est une parabole. Lorsque a est positif, la parabole est tournée vers le haut c'est à dire que la courbe décroit puis remonte et son minimum est atteint en

    \[\frac{-b}{2a}\]

Lorsque a est négatif, la parabole est tournée vers le bas c'est à dire que la courbe croit puis redescend et atteint son maximum en

    \[\frac{-b}{2a}\]

Par exemple, traçons les fonctions suivantes

    \[f(x)=2x^2+3x-1\]

et

    \[g(x)=-x^2+5x-3\]

Qu'est ce qu'une parabole ? La courbe bleu est tournée vers le haut car a=2 est positif et la courbe rouge est tournée vers le bas car a=-1 est négatif.

On observe ici que ces deux courbes coupent chacune l'axe des abscisses en deux points distincts : on appelle ces deux points les racines du polynôme.

Où trouver des cours de maths pour réviser avant une épreuve ?

Le discriminant et les racines

Qu'est ce que les racines d'un polynôme ? Regardons ce qu'est le discriminant et de quelle façon déterminer les racines d'un polynôme : les valeurs pour lesquelles celui-ci s'annule.

Maintenant que l'on connait les variations d'une fonction polynomiale (fonction qui à tout x associe un polynôme), on va essayer de déterminer son signe. Pour cela, on détermine les racines du polynôme c'est à dire les valeurs pour lesquelles il s'annule. Cela revient à résoudre

    \[ax^2+bx+c=0\]

On calcule pour cela le discriminant, représenté par la lettre grecque delta :

    \[\triangle = b^2-4ac\]

Si le discriminant est positif, alors le polynôme admet deux racines réelles distinctes :

    \[x_1=\frac{-b-\sqrt{\triangle}}{2a}\]

et

    \[x_2=\frac{-b+\sqrt{\triangle}}{2a}\]

  Lorsque a est un nombre positif, la fonction est positive à l'extérieur des racines et négative entre les racines. Lorsque a est un nombre négatif, la fonction est négative à l'extérieur des racines et positive entre les racines.

Dans ce cas, on peut factoriser la fonction

    \[f(x)=ax^2+bx+c\]

  sous la forme

    \[f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\]

Si le discriminant est nul alors le polynôme admet une unique racine (ou plus précisément une racine double) qui est

    \[x_1=\frac{-b}{2a}\]

Cela correspond à l'extremum 'minimum ou maximum) de la parabole puisque s'il existe une unique racine c'est que la parabole passe une unique fois sur l'axe des abscisses, en un seul et unique point.

On peut alors factorisée la fonction sous la forme

    \[f(x)=a(x-x_1)^2\]

Si le discriminant est négatif, le polynôme n'admet aucune racine réelle. Ainsi la parabole ne coupe pas l'axe des abscisses. Elle est strictement au dessus et tournée vers le haut ou strictement en dessous et tournée vers le bas selon le signe de a.

Dans ces deux derniers cas, la fonction est soit toujours positive soit toujours négative.

Ainsi, le discriminant permet de trouver les racines du polynôme qui permettent à la fois de faire un tableau de signe du polynôme et de déterminer la forme factorisée du polynôme.

Lorsque b ou c sont nulles, il n'est pas nécessaire de passer par le discriminant pour obtenir les racines. En effet, si c est nulle, ax²+bx se factorise par x : ax²+bx=0 équivaut à x(ax+b)=0 donc soit x=0 soit ax+b=0. Si b est nulle, ax²+c=0 équivaut à ax²=-c ce qui revient à

    \[x^2=\frac{-c}{a}\]

Si

    \[\frac{-c}{a}\]

est négatif alors le polynôme n'a pas de racine sinon les racines sont

    \[x=\sqrt{\frac{-c}{a}}\]

ou

    \[x=-\sqrt{\frac{-c}{a}}\]

Vous cherchez des cours de math 3eme ?

La forme canonique

La forme canonique d'un polynôme du second degré est l'écriture sous la forme

    \[a(x-\alpha)^2+\beta\]

    \[\alpha=\frac{-b}{2a}\]

est l'abscisse de l'extremum du polynôme et

    \[\beta=f(\alpha)\]

est l'ordonnée de l'extremum atteint par la polynôme.

Lorsque l'on connait l'extremum que le polynôme atteint, il est simple de donner la forme canonique.

A l'inverse, lorsque celui ci est inconnu, la forme canonique du trinôme permet de trouver facilement les coordonnées du sommet de la parabole. La forme canonique permet également de déterminer facilement les racines du polynôme puisque l'équation

    \[a(x-\alpha)^2+\beta=0\]

est simple à résoudre et ne requiert pas de calculer le discriminant. Il est donc nécessaire de savoir passer de la forme développée à la forme canonique.

Par exemple, déterminons la forme canonique du polynôme

    \[2x^2+4x-1\]

On commence par mettre le a=2 en facteur, on obtient

    \[2(x^2+2x-\frac{1}{2})\]

Ensuite, on fait apparaître

    \[(x-\alpha)^2\]

Pour cela on fait apparaître (x+1)² :

    \[2(x^2+2x+1-1-\frac{1}{2})\]

    \[=2((x+1)^2-1-\frac{1}{2})\]

ce qui donne finalement

    \[2((x+1)^2-\frac{3}{2})\]

    \[=2(x+1)^2-3\]

Ainsi, le minimum est atteint en (-1,-3).

Exercices

Qu'est ce qu'une parabole ? Terminons avec des exercices d'applications afin de comprendre cet article.

Exercice 1 :

Déterminer le discriminant et les racines des polynômes suivants :

    \[-2x^2+3x+5\]

    \[x^2+3x-4\]

et

    \[-x^2+7x-6\]

 

Affichons les résultats dans un tableau :

polynômesdiscriminant1ère racine2ème racine
-2x²+3x+5b²-4ac=9+40=49(-3-7)/(-4)=10/4=2,5(-3+7)(-4)=-1
x²+3x-4b²-4ac=9+16=25(-3-5)/2=-4(-3+5)/2=1
-x²+7x-6b²-4ac=49-24=25(-7-5)/(-2)=6(-7+5)/(-2)=1

Attention, il est important de bien rédiger les exercices, les réponses sont données à titre indicatif pour vérifier vos résultats.

 

Exercice 2 :

Déterminer l'extremum de la fonction suivante de deux façons différentes :

    \[f(x)=-x^2+7x-6\]

 

Corrigeons soigneusement l'exercice. Dans un premier temps, a=-1 est négatif donc le polynôme admet un maximum.

On peut calculer les coordonnées du maximum :

On détermine l'abscisse avec la formule

    \[\alpha=\frac{-b}{2a}=\frac{-7}{-2}=3,5\]

ensuite on déterminer l'ordonnée en calculant

    \[\beta=f(\alpha)=-3,5^2+7 \times 3,5-6\]

ce qui vaut 6,25. Donc le maximum est atteint en (3,5 , 6,25).

D'une autre façon, on peut déterminer la forme canonique de la fonction afin de déterminer les coordonnées du maximum :

On commence en factorisant par -1 :

    \[-(x^2-7x+6)\]

Ensuite on fait apparaître l'identité remarquable afin d'avoir notre parenthèse au carré :

    \[-(x^2-2\times 3,5\times x+3,5^2-3,5^2+6)\]

    \[=-((x-3,5)^2-3,5^2+6))\]

    \[=-(x-3,5)^2 +12,25-6)\]

    \[=-(x-3,5)^2+6,25)\]

On retrouve bien les mêmes coordonnées pour le maximum.

Besoin d'un professeur de Maths ?

Vous avez aimé l’article ?

Aucune information ? Sérieusement ?Ok, nous tacherons de faire mieux pour le prochainLa moyenne, ouf ! Pas mieux ?Merci. Posez vos questions dans les commentaires.Un plaisir de vous aider ! :) 5,00/5 - 1 vote(s)
Loading...

Elise

Freelancer, superprof et étudiante en mathématiques, je souhaite partager et étendre mes connaissances grâce à vous !