I. Les équations

• Les égalités :

Règle 1 :
Si l'on additionne ou si l'on soustrait un même nombre aux deux membres d'une égalité alors on obtient une nouvelle égalité.

Exemples :
Si A = B alors A + 2 = B + 2
Si A = B alors A - 5 = B - 5

Règle 2 :
Si l'on multiplie les deux membres d'une égalité par un même nombre alors on obtient une nouvelle égalité.

Exemple :
Si A = B alors 10 × A = 10 × B

Règle 3 :
Si l'on divise les deux membres d'une égalité par un même nombre non nul alors on obtient une nouvelle égalité.

Exemple :
Si A = B alors A/7 = B/7

• Application à la résolution d'équations :

Résoudre une équation c'est trouver toutes les valeurs que peut prendre l'inconnue (souvent appelée x) pour que l'égalité soit vrai.

Pour cela, on utilise les règles précédentes.

Exemple 1 :

x + 5 = 10
x + 5 - 5 = 10 - 5
x = 5

L'équation admet 5 comme solution.

Exemple 2 :

x - 5 = 10
x - 5 + 5 = 10 + 5
x = 15

L'équation admet 15 comme solution.

Exemple 3 :

5 × x = 10
(5 × x)/5 = 10/5
x = 2

L'équation admet 2 comme solution.

Exemple 4 :

x/5 = 10
(x/5) × 5 = 10 × 5
x = 50

L'équation admet 50 comme solution.

Exemple 5 :

5/x = 10
x/5 = 1/10
x/5 × 5 = 1/10 × 5
x = 5/10 = 1/2

L'équation admet 1/2 comme solution.

• Les équations produits

Définition :

Une
équation produit est une équation dont le premier nombre est produit de
facteurs de la forme ax + b et dont le second nombre est 0.

Propriété :

Si un produit de facteurs est nul alors l'un des facteurs au moins est nul.

Autrement dit :

Si A × B = 0 alors A = 0 ou B = 0

Exemple 1 :

(2x - 1)(x + 3) = 0

C'est une équation produit donc :

Soit 2x - 1 = 0    soit x + 3 = 0
2x = 1                x = -3
x = 1/2

L'équation admet 2 solutions : 1/2 et -3.

Vérification :

Si x = 1/2 alors 0 × 7/2 = 0
Si x = -3 alors -7 × 0 = 0

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II. Les inéquations

• Les inégalités :

Règle 1 :
Si l'on additionne ou si l'on soustrait un même nombre aux deux membres d'une inégalité alors on obtient une nouvelle inégalité de même sens.

Autrement dit :
Si a < b alors a + c < b + c et a - c < b - c

Exemple :

3 < 4 donc 3 + 1 < 4 + 1
3 - 1 < 4 - 1

Règle 2 :
Si l'on multiplie ou si l'on divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre strictement positif alors on obtient une nouvelle inégalité de même sens.

Autrement dit :
Si a < b  et c > 0 alors a × c < b × c et a/c < b/c

Exemple :

3 < 4 donc 3 × 5 < 4 × 5
3/2 < 4/2

Règle 3 :
Si l'on multiplie ou si l'on divise les deux membres d'une inégalité par un même nombre strictement négatif alors on obtient une nouvelle inégalité de sens contraire.

Autrement dit :
Si a < b et c < 0 alors a ×c > b × c et a/c > b/c

Exemple :

3 < 4 donc 3 × (-2) > 4 × (-2)
3/(-10) > 4/(-10)

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !