Numéro 1 : (a + b)²= a² + 2 × a × b + b²

Soient deux nombres réels a et b et l'expression a² + 2 × a × b + b² (1) que l'on peut réécrire de la manière suivante : a × a + a × b + a × b + b × b On remarque un premier facteur commun à deux termes : a L'expression (1) devient : a × (a + b) + a × b + b² On remarque alors que b est facteur commun dans les deux derniers termes. On a alors : a × (a + b) + b × (a + b) (a + b) est facteur commun aux deux termes soit : (1) ó (a + b) × (a + b) = (a + b)² et au final : a² + 2 × a × b + b² = (a + b)²

Numéro 2 : (a - b)² = a² - 2 × a × b + b²

Même démarche, on réécrit a² - 2 × a × b + b² = a × a - a × b - a × b + b × b Puis a facteur commun : a × (a - b) - a × b + b × b Ensuite b facteur commun : a × (a - b) - b × (a - b) Et enfin (a - b) facteur commun : (a - b) × (a - b) = (a - b)² Au final : a² - 2 × a × b + b² = (a - b)²

Numéro 3 : (a - b) × (a + b) = a² - b²

On va se servir de ce que l'on a fait pour la numéro 1 : On écrit a² - b² = a² + b² + 2 × a × b - b² - 2 × a × b - b² Le début de l'expression est la première identité remarquable, on a donc a² - b² = (a + b)² - b² -2 × a × b b est facteur commun dans la deuxième partie : a² - b² = (a + b)² - b × (b + 2 × a) (a + b) est alors facteur commun donc : a² - b² = (a + b) × [(a + b) - 2 × b] Soit enfin : a² - b² = (a + b) × (a - b)

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Olivier

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