Numéro 1 : (a + b)²= a² + 2 × a × b + b²

Soient deux nombres réels a et b et l'expression a² + 2 × a × b + b² (1) que l'on peut réécrire

de la manière suivante : a × a + a × b + a × b + b × b

On remarque un premier facteur commun à deux termes : a

L'expression (1) devient : a × (a + b) + a × b + b²

On remarque alors que b est facteur commun dans les deux derniers termes.

On a alors : a × (a + b) + b × (a + b)

(a + b) est facteur commun aux deux termes soit : (1) ó (a + b) × (a + b) = (a + b)²

et au final :
a² + 2 × a × b + b² = (a + b)²

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Numéro 2 : (a - b)² = a² - 2 × a × b + b²

Même démarche, on réécrit a² - 2 × a × b + b² = a × a - a × b - a × b + b × b

Puis a facteur commun : a × (a - b) - a × b + b × b

Ensuite b facteur commun : a × (a - b) - b × (a - b)

Et enfin (a - b) facteur commun : (a - b) × (a - b) = (a - b)²

Au final :
a² - 2 × a × b + b² = (a - b)²

Numéro 3 : (a - b) × (a + b) = a² - b²

On va se servir de ce que l'on a fait pour la numéro 1 :

On écrit a² - b² = a² + b² + 2 × a × b - b² - 2 × a × b - b²

Le début de l'expression est la première identité remarquable, on a donc

a² - b² = (a + b)² - b² -2 × a × b

b est facteur commun dans la deuxième partie :

a² - b² = (a + b)² - b × (b + 2 × a)

(a + b) est alors facteur commun donc :

a² - b² = (a + b) × [(a + b) - 2 × b]

Soit enfin :
a² - b² = (a + b) × (a - b)

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !