Si l'on cherche à résoudre deux équations simultanément, on parle de système d'équations. Un système de deux équations à deux inconnues est de la forme :

{ax+by+c=0
{dx+ey+f=0

Résoudre un système de deux équations à deux inconnues signifie trouver les valeurs du couple (x ;y) qui vérifient les deux équations.

Résolution par substitution

Exemple :
Résoudre
{x+2y-4=0
{2x-y-3=0

 Etape 1 :
On isole l'une des inconnues à gauche d'une des équations (ici, on décide par exemple d'isoler « x » à gauche, dans la première équation).

{x=-2y+4
{2x-y-3=0

 Etape 2 :
Dans la deuxième équation, on remplace « x » par sa valeur en « y » trouvée dans la première équation. L'objectif est de n'avoir plus qu'une inconnue « y » dans la deuxième équation, afin de pouvoir la résoudre.

{x=-2y+4
{2(-2y+4)-y-3=0

 Etape 3 :
On résout la deuxième équation suivant la méthode de résolution des équations à une inconnue. On continue à recopier la première équation, qui ne sera plus transformée avant qu'on ait fini de résoudre la deuxième.

{x=-2y+4
{-4y+8-y-3=0

On a alors :
{x=-2y+4
{-5y=-5

et ainsi

{x=-2y+4
{y=1

 Etape 4 :
Une fois que la deuxième équation est résolue, on injecte la valeur de « y » trouvée dans la première équation, pour calculer la valeur de « x ».

{x=-2*1+4
{y=1

Donc

{x=2
{y=1

La solution du système est le couple (2 ;1)

 Etape 5 :
Vérification, il suffit de remplacer dans les équations initiales "x" et "y" par les valeurs obtenues.

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Résolution par combinaison linéaire

Cette méthode, également appelée méthode d'addition, consiste à éliminer une des inconnues par addition des deux équations.

Exemple :
Résoudre :
(L1) : {2x+3y=2
(L2) : {3x-5y=-1

 Etape 1 :
On choisit par exemple d'éliminer les « y ». Pour cela, on multiplie la première équation par « 5 » et la deuxième par « 3 ». Ainsi, lorsqu'on additionnera ensuite les deux équations, les « y » s'annuleront.

5*(L1) : {10x+15y=10
3*(L2) : {9x-15y=-3

 Etape 2 :
On additionne les deux équations membre à membre. La nouvelle équation ainsi obtenue apparaîtra en première position, et en deuxième position, on réécrit l'une des deux lignes initiales au choix, de façon à avoir toujours deux équations, donc deux inconnues..

L1+L2 : {10x+9x+15y-15y=10-3
{2x+3y=2

donc on a :
{19x=7
{2x+3y=2

 Etape 3 :
En première position, on a obtenu une équation à une inconnue, ce qui permet de trouver « x ». Puis, on réinjecte la valeur de « x » trouvée dans la deuxième équation, ce qui permet ensuite de calculer « y ».

{x=7/19
{2*(7/19)+3y=2
soit

{x=7/19
{3y=2-(14/19)

et ainsi on a :

{x=7/19
{y=8/19

La solution du système est le couple (7/19 ;8/19)

 Etape 5 :
Vérification, il suffit de remplacer dans les équations initiales "x" et "y" par les valeurs obtenues.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !