Si l'on cherche à résoudre deux équations simultanément, on parle de système d'équations. Un système de deux équations à deux inconnues est de la forme : {ax+by+c=0 {dx+ey+f=0 Résoudre un système de deux équations à deux inconnues signifie trouver les valeurs du couple (x ;y) qui vérifient les deux équations.

Résolution par substitution

Exemple : Résoudre {x+2y-4=0 {2x-y-3=0  Etape 1 : On isole l'une des inconnues à gauche d'une des équations (ici, on décide par exemple d'isoler « x » à gauche, dans la première équation). {x=-2y+4 {2x-y-3=0  Etape 2 : Dans la deuxième équation, on remplace « x » par sa valeur en « y » trouvée dans la première équation. L'objectif est de n'avoir plus qu'une inconnue « y » dans la deuxième équation, afin de pouvoir la résoudre. {x=-2y+4 {2(-2y+4)-y-3=0  Etape 3 : On résout la deuxième équation suivant la méthode de résolution des équations à une inconnue. On continue à recopier la première équation, qui ne sera plus transformée avant qu'on ait fini de résoudre la deuxième. {x=-2y+4 {-4y+8-y-3=0 On a alors : {x=-2y+4 {-5y=-5 et ainsi {x=-2y+4 {y=1  Etape 4 : Une fois que la deuxième équation est résolue, on injecte la valeur de « y » trouvée dans la première équation, pour calculer la valeur de « x ». {x=-2*1+4 {y=1 Donc {x=2 {y=1 La solution du système est le couple (2 ;1)  Etape 5 : Vérification, il suffit de remplacer dans les équations initiales "x" et "y" par les valeurs obtenues.

Résolution par combinaison linéaire

Cette méthode, également appelée méthode d'addition, consiste à éliminer une des inconnues par addition des deux équations. Exemple : Résoudre : (L1) : {2x+3y=2 (L2) : {3x-5y=-1  Etape 1 : On choisit par exemple d'éliminer les « y ». Pour cela, on multiplie la première équation par « 5 » et la deuxième par « 3 ». Ainsi, lorsqu'on additionnera ensuite les deux équations, les « y » s'annuleront. 5*(L1) : {10x+15y=10 3*(L2) : {9x-15y=-3  Etape 2 : On additionne les deux équations membre à membre. La nouvelle équation ainsi obtenue apparaîtra en première position, et en deuxième position, on réécrit l'une des deux lignes initiales au choix, de façon à avoir toujours deux équations, donc deux inconnues.. L1+L2 : {10x+9x+15y-15y=10-3 {2x+3y=2 donc on a : {19x=7 {2x+3y=2  Etape 3 : En première position, on a obtenu une équation à une inconnue, ce qui permet de trouver « x ». Puis, on réinjecte la valeur de « x » trouvée dans la deuxième équation, ce qui permet ensuite de calculer « y ». {x=7/19 {2*(7/19)+3y=2 soit {x=7/19 {3y=2-(14/19) et ainsi on a : {x=7/19 {y=8/19 La solution du système est le couple (7/19 ;8/19)  Etape 5 : Vérification, il suffit de remplacer dans les équations initiales "x" et "y" par les valeurs obtenues.

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Olivier

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