Equations et inéquations

I- Vocabulaire

» Une équation (ou une inéquation) du premier degré à une inconnue est une égalité (ou une inégalité) contenant une inconnue dont l'exposant est 1. Ex : 3x + 1 = 22. » Un nombre est solution d'une équation (ou inéquation) quand, lorsqu'on remplace l'inconnue par ce nombre, l'égalité (ou l'inégalité) est vérifiée. » Résoudre une équation (ou inéquation), c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité (ou l'inégalité) est vraie.

II- Equations du premier degré à une inconnue

Propriétés : Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, on peut : » Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membre d'une équation, on obtient alors dune autre équation qui a les mêmes solutions de la précédente. » Multiplier ou diviser les deux membres de l'équation par un même nombre non nul, on obtient alors une autre équation qui a les mêmes solutions que la précédente. Exemple : Résoudre 3x + 1 = 5 - 2x. 3x + 1 = 5 - 2x 3x + 1 + 2x = 5 - 2x + 2x 5x + 1 = 5 5x + 1 - 1 = 5 - 1 5x = 4 5x/5 = 4/5 x = 4/5 L'équation a pour solution 4/5.

III- Equations produit nul

Définition : Une équation produit nul est une équation dont le premier membre est un produit de facteurs du premier degré et le second membre est 0. Exemple : (4x - 3) (5x + 2) = 0 Propriétés : » Dans un produit, si un des facteurs est nul, alors le produit est nul. » Dans un produit, si le produit est nul, alors au moins l'un de ses facteurs est nul. » Les solutions d'une équation de la forme A x B = 0 sont les solutions des équations A = 0 et B = 0. Exemple : Résoudre (2x + 3) (5 - x) = 0 C'est une équation produit nul, donc l'un de ses facteurs est nul. Donc, 2x + 3 = 0     ou     5 - x = 0 2x = -3    ou -x = -5 x = -3/2     ou     x = 5 L'équation a pour solutions -3/2 et 5.

IV- Inéquations

Exemples : » x ≥ 7 est une inégalité : "x est supérieur ou égal à 7". ⇒ C'est l'ensemble des nombres qui sont supérieurs ou égaux à 7. Représentation graphique : Remarque : Attention à l'orientation du crochet : il doit être orienté vers les solutions pour montrer que le 7 est dans les solutions ! » -3 > x. ⇒ C'est l'ensemble des nombres qui sont strictement inférieurs à -3. Représentation graphique : Remarque : Le crochet n'est pas orienté vers les solutions car -3 n'en fait pas partie. Propriétés : Pour résoudre une inéquation, on peut : » Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres de l'inéquation, on obtient alors une autre inéquation qui a les mêmes solutions que la précédente. » Multiplier ou diviser les deux membres de l'inéquation par un même nombre non nul, on obtient alors une autre inéquation qui a les mêmes solutions que la précédente, à condition de changer le sens de l'inéquation si ce nombre est négatif. Exemple : Résoudre 5x - 1 ≤ 3x + 4. 5x - 1 ≤ 3x + 4 5x - 1 + 1 ≤ 3x + 4 + 1 5x - 3x ≤ 3x + 5 - 3x 2x ≤ 5/2 2x/2 ≤ 5/2 x ≤ 5/2 Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 5/2. Représentation graphique :

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Olivier

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