Equations et inéquations

I- Vocabulaire

» Une équation (ou une inéquation) du premier degré à une inconnue est une égalité (ou une inégalité) contenant une inconnue dont l'exposant est 1. Ex : 3x + 1 = 22.

» Un nombre est solution d'une équation (ou inéquation) quand, lorsqu'on remplace l'inconnue par ce nombre, l'égalité (ou l'inégalité) est vérifiée.

» Résoudre une équation (ou inéquation), c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité (ou l'inégalité) est vraie.

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II- Equations du premier degré à une inconnue

Propriétés : En cours de mathématiques, pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, on peut :

» Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membre d'une équation, on obtient alors dune autre équation qui a les mêmes solutions de la précédente.

» Multiplier ou diviser les deux membres de l'équation par un même nombre non nul, on obtient alors une autre équation qui a les mêmes solutions que la précédente.

Exemple : Résoudre 3x + 1 = 5 - 2x.

3x + 1 = 5 - 2x

3x + 1 + 2x = 5 - 2x + 2x

5x + 1 = 5

5x + 1 - 1 = 5 - 1

5x = 4

5x/5 = 4/5

x = 4/5

L'équation a pour solution 4/5.

III- Equations produit nul

Définition : Une équation produit nul est une équation dont le premier membre est un produit de facteurs du premier degré et le second membre est 0.

Exemple : (4x - 3) (5x + 2) = 0

Propriétés :

» Dans un produit, si un des facteurs est nul, alors le produit est nul.

» Dans un produit, si le produit est nul, alors au moins l'un de ses facteurs est nul.

» Les solutions d'une équation de la forme A x B = 0 sont les solutions des équations A = 0 et B = 0.

Exemple : Résoudre (2x + 3) (5 - x) = 0

C'est une équation produit nul, donc l'un de ses facteurs est nul.

Donc,

2x + 3 = 0     ou     5 - x = 0

2x = -3    ou -x = -5

x = -3/2     ou     x = 5

L'équation a pour solutions -3/2 et 5.

IV- Inéquations

Exemples :

» x ≥ 7 est une inégalité : "x est supérieur ou égal à 7". ⇒ C'est l'ensemble des nombres qui sont supérieurs ou égaux à 7.

Représentation graphique :

Remarque : Attention à l'orientation du crochet : il doit être orienté vers les solutions pour montrer que le 7 est dans les solutions !

» -3 > x. ⇒ C'est l'ensemble des nombres qui sont strictement inférieurs à -3.

Représentation graphique :

Remarque : Le crochet n'est pas orienté vers les solutions car -3 n'en fait pas partie.

Propriétés : Pour résoudre une inéquation, on peut :

» Ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres de l'inéquation, on obtient alors une autre inéquation qui a les mêmes solutions que la précédente.

» Multiplier ou diviser les deux membres de l'inéquation par un même nombre non nul, on obtient alors une autre inéquation qui a les mêmes solutions que la précédente, à condition de changer le sens de l'inéquation si ce nombre est négatif.

Exemple : Résoudre 5x - 1 ≤ 3x + 4.

5x - 1 ≤ 3x + 4

5x - 1 + 1 ≤ 3x + 4 + 1

5x - 3x ≤ 3x + 5 - 3x

2x ≤ 5/2

2x/2 ≤ 5/2

x ≤ 5/2

Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 5/2.

Représentation graphique :

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !