Le théorème de Thalès

Thalès était un savant et philosophe grec né en 625 et mort en 547 avant J.-C.

Théorème de Thalès :

  • Soient un triangle ABC, M un point de (AB) et N un point de (AC).
  • Si (MN) et (BC) sont parallèles ,  alors AM/AB = AN/AC = MN/BC.

En cours de mathématiques, le théorème de Thalès sert à calculer une longueur.

Exemples d’application :

→ Calculer une longueur

On sait que (TR) et (FD) sont parallèles. Calculer MR et FD.

> On sait que TMR est un triangle, D appartient à (MT), F appartient à (MR) et (TR) et (FD) sont parallèles.

> Donc, d’après le théorème de Thalès, on a : MT/MD = MR/MF = TR/DF.

> D’où, 40/50 = MR/70 = 26/DF.

> Et, par conséquent, MR = 40 x 70/50 = 56 cm  et  DF = 50 x 26/40 = 32.5 cm.

→ Partage proportionnel d’un segment

Tracer un segment [AB] de longueur 11 cm. Construire un segment [AC] tel que AC = 4/7 AB. Comment construire le point C ?

>> Le problème revient à partager le segment [AB] en 7 segments égaux.

Plan de construction :

  • Tracer une demi-droite [Ax).
  • Sur [Ax), reporter à partir de A 7 segments de même longueur et placer la point P.
  • Placer ensuite, sur [Ax), le point L à 4 longueurs de A.
  • Tracer la droite (PB) et sa parallèle passant par L. Elle coupe le segment [AB] en C.

Preuve :

> On sait que ACL est un triangle, B appartient à (AC), P appartient à (AL) et (CL) et (BP) sont parallèles.

> Donc, d’après le théorème de Thalès, on a : AL/AP = AC/AB.

> D’où : 4/7 = AC/AB

> Et, par conséquent, AC = 4/7 AB : ce qui était demandé !

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Réciproque du théorème de Thalès :

  • Soient un triangle ABC, M un point de (AB) et N un point de (AC).
  • Si les points, A, B, M et les points A, C, N sont alignés dans le même ordre et si AM/AB = AN/AC ,  alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

La réciproque du théorème de Thalès sert à montrer que 2 droites sont parallèles.

Exemples d’application :

→ Montrer que 2 droites sont parallèles

On sait que LD = 7.5 cm et que LU = 20 cm. Les droites (OA) et (UD) sont-elles parallèles ?

> On sait que LO/LU = 4/10 = 2/5  et  LA/LD = 3/7.5 = 2/5,  d’où LO/LU = LA/LD.

> On sait que LOA est un triangle, U appartient à (LO), D appartient à (LA), les points L, O, U et les points L, A, D sont alignés dans le même ordre et que LO/LU = LA/LD.

> Donc, d’après la réciproque tu théorème de Thalès, les droites (OA) et (UD) sont parallèles.

→ Montrer que 2 droites ne sont pas parallèles

Les droites (HN) et (IJ) sont-elles parallèles ?

> On sait que GH/GJ = 10/1.5 = 20/3  et  GN/GI = 12/2 = 6, d’où GH/GJ ≠ GN/GI.

> On sait que GIJ est un triangle, H appartient à (GJ), N appartient à (GI), les points H, G, J et les points N, G, I sont alignés dans le même ordre et GH/GJ ≠ GN/GI.

> Donc, les droites (HN) et (IJ) ne sont pas parallèles.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !