Introduction

Avec les nombres relatifs, les entiers ne sont plus toujours positifs : ils peuvent être négatifs. Plus rarement utilisés dans la vie courante, les nombres négatifs ont été inventés afin de pouvoir résoudre un plus grand nombre d'équations qui n'admettaient jusqu'alors pas de solution.

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Définitions d'un entier relatif

Qu'est ce qu'un nombre relatif ?
Commençons par définir ce qu'est un nombre relatif et déterminer quelques conventions les concernant.

Un entier relatif est un entier qui peut être positif comme négatif. On appelle

    \[\mathbb{Z}\]

l'ensemble des entiers relatifs. Il contient l'ensemble des entiers naturels (entiers positifs)

    \[\mathbb{N}\]

et il est inclus dans l'ensemble des nombres rationnels

    \[\mathbb{Q}\]

.

On représente souvent les entiers relatifs sur une droite graduée :

Comment représenter l'ensemble des nombres relatifs ?
Voici la droite qui permet de représenter l'ensemble des nombres relatifs, elle permet de les placer et déterminer s'ils sont plus grands ou plus petits qu'un autre.

Par exemple, 0, 2, -10, 25, -17, etc... sont des entiers relatifs. On remarquera qu'il n'est pas nécessaire de noter le signe "+" devant un entier positif.

On appelle opposé d'un nombre relatif le nombre qui est de signe contraire. Par exemple, l'opposé de 3 est -3, ou encore l'opposé de -5 est 5.

Les quatre opérations que l'on utilise usuellement sur les entiers naturels : l'addition, la soustraction, la multiplication et la division, sont toujours valables sur les entiers relatifs. Lorsque l'on effectue des opérations, on écrit les nombres relatifs entre parenthèses, pour ne pas se retrouver avec deux signes à suivre.

En cours de maths terminale s, rappelons que, comme dans l'ensemble des entiers naturels, les règles de priorité s'applique dans les calculs. Les parenthèses sont prioritaires dans les calculs. La multiplication et la division sont prioritaires sur les additions et soustractions et s'effectuent de gauche à droite. Enfin, on termine par effectuer les additions et soustractions de gauche à droite.

 

Les additions de nombres relatifs

Comment additionner et soustraire des nombres relatifs ?
Commençons par l'opération la plus simple : l'addition.

La première opération qui nous vient à l'esprit est l'addition. Distinguons différents cas :

  • Lorsque les deux nombres sont positifs, on garde le signe "+" et on effectue usuellement l'addition.

Exemples :

    \[(+1) + (+10) = 1+10= 11= +11\]

  • Lorsque les deux nombres sont négatifs, le résultat sera négatif et l'on additionne les deux nombres positifs usuellement.

Par exemple,

    \[(-7) + (-8) = -15\]

le résultat est négatif et le nombre affiché est l'addition de 7 et 8. En effet, si on retire 7 euros de sa tirelire puis 8 euros, on a retiré au total 15 euros.

  • Lorsque les 2 nombres sont de signes opposés, le signe du résultat sera celui du nombre qui a la plus grande distance à zéro et on soustrait la "grande distance à zéro" avec la "petite distance à zéro".

Exemple :

    \[(-12) + (+9) = -3\]

En effet, 12 est plus grand que 9 donc le résultats est négatif et 12-9=3.

 

Les soustractions de nombres relatifs

Comment mutiplier des entiers relatifs ?
Passons maintenant à la soustraction, opération inverse de l'addition.

Afin d'effectuer la soustraction d'un nombre relatif par un autre, on utilise la règle : "soustraire un nombre reviens à ajouter son opposé". Cela nous permet dans de revenir à l'addition.

Par exemple,

    \[(+2) - (+8) = (+2) + (-8) = -6\]

Soustraire 8 revient à additionner "+8".

    \[(-3) - (-7) = (-3) + (+7) = +4\]

Soustraire "-7" revient à additionner "+7".

 

Multiplications et divisions d'entiers relatifs

Passons maintenant à la multiplication et la division de nombres relatifs. Distinguons plusieurs cas :

  • Lorsque l'on effectue la multiplication ou la division de 2 nombres de même signe, le résultat est toujours positif. On multiplie ou divise alors les deux nombres en ignorant les signes.

Exemples :

    \[(+2) \times (+3) = + 6\]

    \[(-7) \times (-8) = +56\]

    \[\frac{-50}{-5}=10\]

  • Lorsque 2 nombres sont de signes opposés, le résultat est toujours positif. On multiplie ou divise alors les deux nombres en ignorant les signes.

Par exemple :

    \[(-5) \times (+6) = -30\]

    \[(-3) \times (+5) = -15\]

    \[\frac{10}{-2}=-5\]

 

Exercices

Comment diviser des nombres relatifs ?
Terminons par différents exercices pour comprendre le cours et savoir utiliser les nombres relatifs.

Exercice 1

Effectuer les additions suivantes : (-3)+2; 5+(-4); (+25)+(+14); (+14)+(-10); (-2)+(-5)

Rassemblons les résultats dans le tableau ci-dessous :

CalculsRésultats
(-3)+2-1
5+(-4)1
(+25)+(+14)39
(+14)+(-10)4
(-2)+(-5)-7

 

Exercice 2

Entrainons-nous à appliquer les cours sur les soustractions grâce aux calculs suivants : -5-7; (-4)-(+7); (+2)-(-3); (+2)-4; 15-(-1)

Donnons les différents résultats dans un tableau :

CalculsRésultats
-5-7-12
(-4)-(+7)-13
(+2)-(-3)5
(+2)-4-2
15-(-1)16

 

Exercice 3

Terminons en s'entrainant aux multiplications et divisions des nombres relatifs. Intéressons nous aux opérations suivantes :

    \[-5\times(-3)\]

    \[15\div (-3)\]

    \[6\times (+1)\]

    \[(-5)\times 4\]

    \[-6\div(-2)\]

Affichons les résultats dans le tableau ci-dessous :

CalculsRésultats
-5x(-3)15
15/(-3)-5
6x(+1)6
(-5)x4-20
(-6)/(-2)3
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Elise

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