Définition

Une équation du premier degré a pour forme générale ax+b=0

Si a#0 alors l'équation a une solution unique x=b/a
D'où l'ensemble des solutions est S ={-b/a}
Si a=0 alors l'équation a :
- soit une infinité de solutions alors S=IR
- soit aucune solution alors S=ensemble vide (représenté par un zéro barré)

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Règles fondamentales

 Règle n°1 :
Un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul

On applique cette règle pour résoudre une équation-produit, c'est à dire une équation de la forme (a*x+b) (c*x+d)=0
soit a*x+b=0 ou c*x+d=0
L'équation a donc deux solutions :
x=-b/a et x=-d/c
soit S={-b/a ;-d/c}

Exemple :
(2*x-3)(x+4)=0
soit 2x-3=0 ou x+4=0
L'équation a donc deux solutions :
x=3/2 et x=-4
S={-4 ;3/2}

 Règle n°2 :
Un quotient existe si et seulement si son dénominateur est non nul.
Soient a, b et c trois réels, et c#0 :
(a*x+b)/c = 0 soit ax+b=0 et donc x=-b/a

Exemple : Résoudre (-5x+4)/(x+2)=0
a)L'équation existe si et seulement si x+2#0 soit lorsque x#-2
b)(-5x+4)/(x+2)=0 implique que 5x+4=0 d'où x=4/5 et ainsi S={4/5}

Méthode pour résoudre une équation du premier degré

a) Cas où a#0

Exemple :
Résoudre 3x+2=-5x+8
Etape1 :
On regroupe tous les termes contenant x à gauche du signe égal, et tous les autres termes à droite.
Soit 3x+5x=8-2
D'où 8x=6

Etape 2 :
On isole x à gauche du signe égal. Pour cela, on divise les deux membres de l'équation par 8 :
X=6/8 donc x=3/4
La solution de l'équation est 3/4 soit S={3/4}

Remarque : Une équation du premier degré a en général une solution unique.

b) Cas où a=0

Cas n°1 : Une équation peut avoir une infinité de solutions
Exemple :
3x+2 = 2x+5+x
3x-3x=1-1
0=0
L'égalité obtenue est vraie quelque soit la valeur de x choisie. Donc l'équation admet une infinité de solutions : S=IR

Cas n°2 : Une équation peut n'avoir aucune solution.
Exemple :
3x+2=2x+5+x
3x-3x=5-2
0=3
L'équation obtenue est fausse puisque 0#3
Donc il n'y a aucune valeur de x vérifiant l'équation. L'équation n'admet donc aucune solution : S=l'ensemble vide (représenté par un zéro barré)

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !