Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

Cosinus d'un angle

Définition:
Dans un triangle ABC rectangle en A, on définit le cosinus de l'angle « C », noté cos (C ), par :
Cos(C)= côté adjacent à l'angle C / hypoténuse
=AC/BC

Sinus d'un angle

Définition :
Dans un triangle ABC rectangle en A, on définit le sinus de l'angle C, noté sin (C ), par:
Sin (C )=Côté opposé à l'angle C / hypoténuse
=AB/BC

Propriété :
Dans un triangle ABC rectangle en A. Le sinus et le cosinus des angles sont liés par la relation suivante :
Sin (C )=cos (B )

Tangente d'un angle

Définition :
Dans un triangle ABC rectangle en A, on définit la tangente de l'angle C, notée tan (C ) par:
Tan (C )= côté opposé de l'angle C / côté opposé de l'angle C
= AB/AC

Formules de trigonométrie

Dans un triangle rectangle , si x désigne la mesure de l'un des angles aigus :
Cos² (x) + sin² (x)=1

Tan (x)= sin (x) / cos (x)

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Utilisation de la trigonométrie dans un triangle rectangle

Pour calculer la mesure d'un angle

exemple : ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=1,1 cm et AC=3 cm
Calculer la mesure de l'angle B.

Solution :

Etape 1 :
Le segment [AC] est le côté opposé à l'angle B
Le segment [AB] est le côté adjacent à l'angle B
On utilisera donc la formule de la tangente pour calculer l'angle B

Etape 2 :
Tan (B)= côté opposé à l'angle B / côté adjacent à l'angle B
=AC/AB
tan (B)=3/1,1=2,727

Etape 3:
A l'aide de la calculatrice on utilise la touche « tan-1 » pour obtenir la mesure en degrés de l'angle B
Ici, B=68,9°

Pour calculer la mesure d'un côté

exemple :
ABC est un triangle rectangle en A tel que BC=4cm et l'angle B=35°
Calculer la mesure du côté AC.

Solution :

Etape 1 :
[AC] est le côté opposé à l'angle B
[BC] est l'hypoténuse du triangle
On utilisera donc la formule du sinus pour calculer AC

Etape 2 :
Sin(B)=côté opposé à l'angle B / hypoténuse
= AC/BC

donc AC/BC= sin(B)
ce qui donne :
AC= BC*sin(B)
= 4*sin(35)
=2,3 cm

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !