Les fonctions

Tout d'abord, c'est quoi une fonction? Une fonction, c'est un peu une machine infernale, un système un peu compliqué mais logique, un truc assez abstrait au début, bref une sorte de bestiole, à qui on donne un nombre et qui en ressort un autre. Par exemple pour la fonction f(x) = 2x + 3, si on lui donne 5, elle ressortira . Si on lui donne 10, elle ressort f(10) = 23, si on lui donne (-4) elle ressort (-5), si on lui donne 0,5 elle ressort 4. Elle associe à chaque nombre un autre nombre. Il existe tout plein de fonctions, , , et même sont des fonctions ! En troisième, on ne voit que deux types de fonctions : les fonctions affines (celles qui s'écrivent f(x) = 2x+3, g(x) = 4x-2, h(x) = 0,3x+1,65, bref celles du genre f(x) = ax+b) et les fonctions linéaires (f(x) = -3x, f(x) = 8x, d'une manière générale f(x) = ax). Les fonctions linéaires sont un cas particulier de fonctions affines, elles sont un peu plus simples et un peu plus courtes à écrire.

Représentation graphique

Une fonction peut se représenter par un graphique :

Pour chaque valeur de x sur l'axe horizontal (axe des abscisses), on calcule la valeur de f(x) correspondante.
Pour la fonction f(x) = 2x+3, si on prend x = 1 on a f(x) = 5. On fait une petite croix au point d'abscisse 1 et d'ordonnée 5 (de hauteur 5), c'est à dire ici :

On fait de même en choisissant au hasard d'autres valeurs de x et en calculant à chaque fois la valeur de f(x) correspondante puis en placant le point de la même manière que ci dessus. Par exemple pour x = -1, f(x) = 1 et pour x = -3, f(x) = -3. Quand on a assez de points, on les relie et on obtient alors la représentation graphique de la fonction. Dans le cas de notre fonction f(x)=2x+3, la représentation graphique est une droite. En fait, toutes les fonctions affines et toutes les fonctions linéaires se représentent par une droite. Le fonctions linéaires ont la particularité de se représenter par une droite qui passe par l'origine du repère.

Coefficient directeur

Pour les fonctions affines ou les fonctions linéaires, le nombre a qui est devant x s'appelle le coefficient directeur de la droite. Il mesure la pente de la droite. Si on prend un point sur la droite et si on avance de 1 à droite, il faut ensuite monter de a pour arriver sur la droite. Dans l'exemple ci dessous on voit bien en bleu qu'il faut monter de 2 pour arriver sur la droite. C'était bien le nombre qui était devant x dans l'expression de la fonction. Le nombre b qui est dans l'expression de la fonction s'appelle "l'ordonnée à l'origine". Il est égal à la hauteur avec laquelle la droite coupe l'axe vertical des ordonnées. Dans le cas d'une fonction linéaire, b vaut 0. Dans le cas de notre fonction, b vaut 3 (point jaune). Enfin si on connait les coordonnées A et B de 2 points d'une droite, on peut calculer le coefficient directeur de cette droite. Il faut utiliser la formule suivante :

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !

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