I. Division Euclidienne.

Définition : On prend deux nombres a et b entiers positifs non nuls. Effectuer la division euclidienne de a par b, c'est trouver deux nombres entiers positifs q et r tels que :

a = b x q + r et r < bdsdsffsddfgfsjfhsdhhks

dividende = diviseur x quotien + reste et reste < diviseur

exemple :

  • Effectuer la division euclidienne de 315 par 4.

315 = 4 x 78 + 3.

  • Effectuer la division euclidienne de 240 par 15.

240 = 15 x 16 + 0

  • On considère l'égalité : 57 = 7 x 8 + 1.

Elle correspond à la division euclidienne de 57 par 7.

Elle correspond à la division euclidienne de 57 par 8.

  • On considère l'égalité : 144 = 10 x 12 + 24.

Ce n'est pas une division euclidienne.

En utilisant cette égalité comment trouver la division euclidienne de 144 par 12 ?

144 = 10 x 12 + 2 x 12.

= 12 x 12 + 0.

Le reste est 0 dans la division euclidienne de 144 par 12.

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II. Diviseurs et multiples d'un nombre entier.

1. Définition.

On considère deux nombres entiers positifs non nuls a et b.

On dit que b est un diviseur de a lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est nul.

2. Vocabulaire.

On a 48 = 6 x 8.

On peut dire que :

  • 6 est un diviseur de 48.
  • 84 est un multiple de 8.
  • 6 divise 48.
  • 8 divise 48.
  • 8 est un diviseur de 48.
  • 48 est un multiple de 6.

3. Propriété.

Tous les nombres entiers positifs ont au moins tous en diviseur commun : 1.

Un nombre entier positif admet au moins deux diviseurs : 1 et lui-même.

4. Définition d'un nombre premier.

Un nombre premier est nu nombre entier positif qui admet deux diviseurs ( 1 et lui-même).

Exemple :

5 est un nombre premier.

7 est un nombre premier.

3 est un nombre premier.

2 est un nombre premier.

3 n'est pas un nombre premier car il a pour diviseurs 1, 2, 4 et 8.

Comment trouver le bon cour de math ?

III. Diviseur commun à deux entiers : P.G.C.D.

1. Définition.

Soit a et b deux nombres entiers strictement positifs.

Un diviseur commun à a et b est un nombre entier qui divise à la fois a et b.

Parmis tous les diviseurs communs à a et b, l'un d'entre eux est toujours plus grand que les autres : c'est le P.G.C.D (Plus Grand Commun Diviseur)

2. Méthode pour trouver le PGCD.

Méthode 1 : Liste des diviseurs.

Trouver le PGCD (12 ; 18)

  • On cherche les diviseurs de 12 : 12 = 1 x 12 / 2 x 6 / 3 x 4.

Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12.

  • On cherche les diviseurs de 18 : 18 = 1 x 18 / 2 x 9 / 3 x 6.

Les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et  18.

Les diviseurs communs de 12 et 18 sont 1, 2, 3, et 6.

Le PGCD (12 ; 18) est 6.

Méthode 2 : Algorithme des soustractions.

Propriété du PGCD : On prend deux nombres entiers strictement positifs a et b.

PGCD (a ; a) = a

PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a)

PGCD (a ; b) = PGCD (a - b ; b)       (si a > b)

Exemple :

Calculer le PGCD (117 ; 273) par l'algorithme des soustractions.

273 - 117 = 156

donc PGCD (273 ; 117) = PGCD (156 ; 117)

156 - 117 = 39

donc PGCD (156 ; 117) = PGCD (117 - 39)

117 - 39 = 78

donc PGCD ( 117 ; 39) = PGCD (78 ; 39)

78 - 39 = 39

donc PGCD (78 ; 39) = PGCD (39 ; 39)

donc le PGCD (117 ; 273) = 39.

Méthode 3 : Algorithme d'Euclide.

Propriété (admise) :

Soit a et b deux nombres entiers positifs et a > b.

On apelle r le reste de la division euclidienne de a par b.

PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r)

Exemple :

Calculer le PGCD (7613 ; 2317)

7613 = 3  x 2317 + 662

2317 = 3 x 662 + 331

662 = 2 x 331 + 0

Donc le PGCD est 331

Le PGCD est le dernier reszte différent de zéro.

IV. Nombres premiers entre eux.

Définition : deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.

Exemple :

Les nombres 3 et 7 sont premiers entre eux.

Les nombres 9 et 25 sont premiers entre eux.

En effet : les diviseurs de 9 sont 1, 3 et 9

les diviseurs de 25 sont 1, 5 et 25

PGCD 59 ; 25 = 1

Deux entiers consécutifs sont premiers entre eux (12 et 13, 8 et 9...)

V. Fractions irréductibles.

Définition : Une fraction irréductible (elle ne peut plus être simplifiée) lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

(d'après le cours de Mr CORNE, professeur de mathématiques en en collège)

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !