Le théorème

Soient deux droites d et d' sécantes en B et deux droites parallèles qui coupent respectivement d et d'en A et M, et C et N.

Si :
-B, M, A sont alignés dans cet ordre
-B, N, C sont alignés dans cet ordre
-(MN) et (AC) sont parallèles

alors on a :
BM/BA = BN/BC = MN/AC

QUAND APPLIQUER LE THEOREME DE THALES ?
-pour calculer la mesure d'un segment
-Pour calculer un rapport de type MN/AC

Et uniquement si les 3 conditions citées ci-dessus (après le si : ) sont vérifiées.

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La réciproque

Soient deux droites d et d', sécantes en B et deux droites qui coupent respectivement d et d' en A et M, et C et N.

Si :
-BM/BA = BN/BC = MN/AC
-B, N, C et alignés et B, M, A alignés dans le même ordre

Alors : les droites (NM) et (CA) sont parallèles.

QUAND APPLIQUER LA RECIPROQUE DU THEOREME DE THALES ?

Uniquement pour démontrer que deux droites sont parallèles, et à condition de pouvoir prouver l'égalité de deux fractions au moins, sur les trois ci-contre (BM/BA = BN/BC = MN/AC)

 Exemple :
Soit un triangle ABC, M un point du segment [AB] tel que AM=3 et N, un point du segment [AC] tel que AN=2.
AB=6
Les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
Calculer AC.

 Solution :

Etape 1 :
Dans le triangle ABC, on a :
-A, M et B alignés
-A, N et C alignés
-Les droites (BC) et (MN) parallèles

On peut donc appliquer le théorème de Thalès, et on a alors :
AM/AB=AN/AC=MN/BC

Etape 2:
Comme on cherche à calculer AC, on choisit parmi ces trois rapports une fraction contenant l'inconnue AC, et une fraction contenant des segments dont on connaît la mesure.

On écrit alors :
AN/AC=AM/AB

Etape 3:
On place l'inconnue AC en haut à gauche du calcul, puis on remplace les autres mesures par les valeurs données dans l'énoncé:
AC/AN=AB/AM
AC/2=6/3
AC=6/3 * 2
AC=4

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !