I/ Développements et égalités remarquables

a) Définition

Développer un expression revient à supprimer les parenthèses en respectant les règles de développement.

b) Règles de développement

Supression des parenthèses

Soient a, b et c des nombres.

a + ( b + c) = a + b + c
a + ( b - c ) = a + b - c

a - ( b +c ) = a - b - c
a - ( b - c ) = a - b + c

Distributivité de la multiplication sur l'addition

Soient a, b , c, d et k des nombres.

k ( a + b ) = ka + kb
k ( a - b ) = ka - kb

( a + b )( c + d ) = ac + ad + bc + bd

( a + b )( c - d )= ac - ad + bc - db

Égalités remarquables

Soient a et b des nombres.

( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
( a + b )( a - b ) = a2 - b2

c) Exemples

Développons l'expression A en utilisant la distributivité

A = 2 ( x - 1 ) - 3 ( 2x - 2 )
A = ( 2x - 2 ) - ( 6x - 6 )  ← On développe chaque produit en conservant les parenthèses
A = 2x - 2 - 6x + 6         ← On supprime les parenthèses en respectant les règles
A = 8x - 8                     ← On réduit les termes semblables

Développons l'expression B en utilisant les égalités remarquables

A = ( 4x - 1 )2
A = 16 x2 - (2 x 4 x 1) x  + 1  ← On applique la formule
( a - b )2 = a2 - 2ab + b2
A = 16 x2 - 8 x + 1              ← On effectue les produits

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II/ Factorisations et égalités remarquables

a) Définition

Factoriser une expression revient à transformer une somme ou une différence en un produit de facteurs en respectant les règles de factorisation.

b) Règles de factorisation

Distributivité de la multiplication sur l'addition

Soient a, b , c, d et k des nombres.

ka + kb = k ( a + b )
ka - kb = k (a - b )
ka - kb + kc = k ( a - b + c )

Égalités remarquables

Soient a et b des nombres.

 

a2 + 2ab + b2 = ( a + b )2
a2 - 2ab + b2 =
( a - b )2
a2 - b2 =
( a + b )( a - b )

 

c) Exemples

Factorisons l'expression C en utilisant la distributivité

C = 2 ( x - 1 ) - ( 3 x + 3) ( x - 1 )
C = ( x - 1 ) ( 2 - ( 3x + 3 )   ← On identifie le facteur commun et on factorise
C = ( x - 1 ) (2 - 3x - 3 )      ← On effectue les calculs dans les parenthèses
C = ( x - 1 ) ( -3x - 1 )         ← On réduit les termes semblables dans la parenthèse

Factorisons l'expression D en utilisant les égalités remarquables

D = ( 5x + 3 )2 - 25
D = ( 5x + 3 )2- (5)2 ← On identifie l'égalité remarquable a2 - b2 =
( a + b )( a - b )
D = [( 5x + 3 ) + 5] [( 5x + 3 ) - 5]  ← On applique la formule

D = [ 5x + 3  + 5 ] [ 5x + 3 - 5 ]  ← On supprime les parenthèses
D = [ 5x + 8 ] [ 5x - 2 ]   ← On réduit les termes semblables dans chaque parenthèse

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !