I-RAPPELS

1-coordonnees d'un vecteurs

soit A(xA;yA)   et  B(xB;yB)

vec(AB) à pour abscisse:(xB-xA) et pour ordonnee:(yB-yA)

2-determinant de deux vecteurs

soit    (x;y)  et    (x';y').

on appelle determinant de     et      la difference xy'-x'y.

on note:

ce theoreme nous sera utile dans la determination d'une equation cartesienne de droite

3-distance entre deux  points du plan:

Soit  A(xA,yA) et  B(xB,yB)  deux points  du  plan cartesien : la distance AB est definie par:

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C'est parti

 II-EQUATION  CARTESIENNE D'UNE DROITE

c'est une equation de la forme ax+by+c=0 avec a,b et c des reels avec a different de 0 ou b different de 0.

on se contantera d'etudier cette partie a l'aide d'un exemple.

activite:

soit A(-1;2) et B(1;1) dans un repere cartesien.

determinons une equation cartesienne de la droite (AB)

solution:

calculons les coordonnees du vec(AB)

vec(AB) a pour abscisse [1-(-1)]=2 et pour ordonnee (1-2)=-1

AB(2;-1)

soit M(x;y) appartenant a la droite  (AB) alors vec(AM) et  vec(AB) sont colineaires donc leur determinant est nul.

les coordonnees de vec(AM) sont [(x+1);(y-2)]

ona: 2(y-2)+1(x+1)=0   ona mis + car  -(-1)=+1

     2y-4+x+1=0

 (AB): x+2y-3=0

III-EQUATION CARTESIENNE D'UN CERCLE

1-connaissant son rayon

Soit  C un cercle de centre A(xA;yA)  et de rayon R.  on se propose de determiner une equation cartesienne de C. voici comment proceder.

soit M(x;y)  un point de C alors ona:AM=R si et seulement si AM2=R2

si et seulement si (x-xA)+(y-yA)=R2

C:(x-xA)+(y-yA)=R2

2-connaissant son diametre:

soit C un cercle de diametre [AB] avec A(xA;yA)  et  B(xB;yB).on se propose de determiner une equation cartesienne de C.

M(x ; y) cercle de diamétre [AB]
AMB est un triangle rectangle
les vecteurs (x - xA; y - yA) et (x - xB; y - yB) sont orthogonaux
(x - xA)(x - xB) + ( y - yA) ( y - yB) = 0
il suffit de faire le calcul et on aura  une equation cartesienne de C.

REMARQUE:dans certains exercices on peut donner une equation  qui est de la forme

ax²+bx+cy²+dy+e=0 avec a,b,c,d et e des reels et a et c different de 0 et on vous demande de montrer c'est une equation cartesienne d'un cercle dont on donnera son centre et son rayon.

dans ce cas il faut mettre cette equation sous la forme canonique pour  avoir une equation de la forme:(x-xA)+(y-yA)=R2 .

exemple:

montrer que  l'equation  x²+y²-4x-6y+9= 0  est une equation cartesienne d'un cercle dont on determinera le centre et le rayon.

solution: ona x²+y²-4x-6y+9=0

              x²-4x+y²-6y+9=0  en utilisant la forme canonique ona:

             (x-2)²-4+(y-3)²-9+9=0

            (x-2)²+(y-3)²=4

                   (x-2)²+(y-3)²=2² donc c'est l'equation cartesienne d'un cercle de centre A (2;3) et de rayon R=2

si toute fois j'ai commi des fautes et surtout des betises n'hesiter pas a me le dire.

car je suis eleves

merci!

Vous verrez tout cela avec votre professeur de mathématiques.

APLICATION

le plan est muni d'un repere

Soient A(-1 ; 3) et B(5 ; 1) deux points du plan :

 1°) Déterminer l'équation de la droite (AB).

2°) Placer le point . Le point C appartient-il à la droite (AB) ?

3°) Déterminer l'équation de la droite D perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point .

4°) Déterminer l'équation de la droite D' parallèle à la droite D passant par le point

E(-1 ;1).

5°) faire une figure soignée de ce probleme.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !