Fiche intégrale de mathématiques

Généralités sur les fonctions

I. Intervalles

1) Définition

Un intervalle est une partie des réels (IR) en un seul «morceau».

L'intervalle borné noté

Est l'ensemble des réels x tels que

Nom de cet intervalle

[ a ; b]

a ≤ x ≤ b

Intervalle fermé

] a ; b [

a < x < b

Intervalle ouvert

] a ; b ]

a < x ≤ b

Intervalle ouvert en a fermé en b

[ a ; b [

a ≤ x < b

Intervalle fermé en a ouvert en b

 

L'intervalle non borné noté

Est l'ensemble des réels x tels que

[ a ; +∞ [

x ≥ a

] a ; +∞ [

x > a

] -∞ ; b ]

x ≤ b

] -∞ ; b [

x < b

Remarques : Le crochet ressemble a une «agrafe». Ex : [ 3 ; 5 [ Le 3 est compris dans l'intervalle. Le 5 n'est pas compris. D'où x Є [ 3 ; 5 [ ou alors 3 ≤ x < 5 -L'ensemble des réels est noté IR = ] -∞ ; +∞ [ -∞ = moins l'infini et +∞ = plus l'infini ne sont pas des nombres, juste des symboles, donc les crochets sont toujours ouverts en -∞ et +∞. -On note ø = ensemble vide -l'intervalle [ a ; a ] = {a} Cet intervalle ne contient que le nombre a.

2). Intersection et réunion d'intervalle

L'intersection de deux intervalles I et J est l'ensemble des réels appartenant à I et en même temps à J. On note I ∩ J (se lit «inter»). La réunion de deux intervalles I et J est l'ensemble des réels appartenant à I OU ALORS à l'intervalle J (au moins l'un des deux et/ou les deux en même temps). On note I U J (se lit «union)»

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I. Intervalles

1) Définition

Un intervalle est une partie des réels (IR) en un seul «morceau».

L'intervalle borné noté

Est l'ensemble des réels x tels que

Nom de cet intervalle

[ a ; b]

a ≤ x ≤ b

Intervalle fermé

] a ; b [

a < x < b

Intervalle ouvert

] a ; b ]

a < x ≤ b

Intervalle ouvert en a fermé en b

[ a ; b [

a ≤ x < b

Intervalle fermé en a ouvert en b

 

L'intervalle non borné noté

Est l'ensemble des réels x tels que

[ a ; +∞ [

x ≥ a

] a ; +∞ [

x > a

] -∞ ; b ]

x ≤ b

] -∞ ; b [

x < b

Remarques : Le crochet ressemble a une «agrafe». Ex : [ 3 ; 5 [ Le 3 est compris dans l'intervalle. Le 5 n'est pas compris. D'où x Є [ 3 ; 5 [ ou alors 3 ≤ x < 5 -L'ensemble des réels est noté IR = ] -∞ ; +∞ [ -∞ = moins l'infini et +∞ = plus l'infini ne sont pas des nombres, juste des symboles, donc les crochets sont toujours ouverts en -∞ et +∞. -On note ø = ensemble vide -l'intervalle [ a ; a ] = {a} Cet intervalle ne contient que le nombre a.

2). Intersection et réunion d'intervalle

L'intersection de deux intervalles I et J est l'ensemble des réels appartenant à I et en même temps à J. On note I ∩ J (se lit «inter»). La réunion de deux intervalles I et J est l'ensemble des réels appartenant à I OU ALORS à l'intervalle J (au moins l'un des deux et/ou les deux en même temps). On note I U J (se lit «union)»

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II. Rappel et complément sur les fonctions.

1). Définition

Soit D un intervalle ou une réunion d'intervalle de IR. Définir une fonction numérique f sur D, c'est se donner un processus qui, à un nombre x Є D, associe un unique réel, noté f(x) (l'image de x par f). Une fonction est généralement désignée par l'une des lettres : f, g, h, ... On note f(x) = fonction numérique (ex : 2x+3, (25x-3)²/(2x+5), 1/√x ...) Exemple : Lorsqu'à chaque réel x on associe x²+3 on fabrique une fonction f définie sur IR L'image f(x) de x est égale à f(x) = x²+3 Calcul d'images : L'image de 1 est f(1)=1²+3 f(1)=4 L'image de √2 est f(√2)=√2²+3 f(√2)=5 Calcul d'antécédents (on aura à résoudre une équation) Un antécédent de 7 est le nombre x qui vérifie f(x)=7, c-à-d x²+3=7 Donc, x²=7-3=4 Ainsi, x=√4 ou -√4 x=2 ou -2 Donc 7 a 2 antécédents ; 2 et -2 Par contre, 1 n'a pas d'antécédents par f car si l'on résout f(x)=1, on obtient x²+3=1, soit x²=-2, ce qui est impossible, puisque le résultat d'un carré est toujours positif !!! Une fonction peut être définie par une formule, un tableau de valeurs, ou bien une courbe, un graphique. Une fonction peut-être définie sur l'ensemble des entiers naturels (IN), ou sur une partie de IN. Ex : f est définie sur IN par f(n) = 4n-5 f(IN)=IR n->4n-5 f(3)=4*3-5=7 Une fonction peut-être définie à partir de deux variables (cours de math). Ex : Si x et y définissent la largeur et la longueur d'un rectangle, l'aire de ce rectangle définit une fonction à deux variables. A=(x;y)->x*y L'aire d'un rectangle de 2 cm sur 5 cm se note A(2;5).

2) L'ensemble de définition

Quand une fonction est donnée par une formule, le domaine (ou l'ensemble) de définition de f1 noté Df, est l'ensemble des réels pour lesquels on peut calculer f(x). Remarque : deux cas posent problème : - la division par 0 = impossible Exemple : Soit f(x)=1/(x+3) f(x) peut se calculer si et seulement si x ≠ -3 Donc son domaine de définition est Df = ] -∞ ; -3 [ U ] -3 ; +∞ [ , ou alors IR /{-3} (IR privé de -3). - La racine carrée pour les nombres négatifs Exemple : Soit f(x)=√x+4 f(x) peut se calculer si et seulement si x+4≥0 (ou alors x≥-4) Donc son domaine de définition est Df = [-4 ; +∞ [

III. Courbe représentative d'une fonction

Dans un repère du plan, la courbe représentative (ou représentation graphique) de la fonction f, notée Cf, est l'ensemble de tous les points d'abscisse x et d'ordonnée f(x) pour x élément de Df.

IV. Variation d'une fonction

1). Fonctions strictement croissantes, strictement décroissantes sur un intervalle :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. a). Dire que f est strictement croissante signifie que pour tous réels a et b de I : Si a < b alors f(a) < f(b) f(a) et f(b) sont rangés dans le même ordre que a et b On dit que f conserve l'ordre sur I. b). Dire que f est strictement décroissante signifie que pour tous réels a et b de I : Si a < b alors f(a) > f(b) f(a) et f(b) sont rangés dans l'ordre inverse que a et b On dit que f inverse l'ordre sur I c). Dire que f est constante signifie que pour tous réels a et b de I : Si a et b appartiennent à I alors f(a) = f(b)

2) Étude du sens de variation – tableau de variation

Étudier le sens de variation, c'est préciser les plus grands intervalles où elle est croissante et ceux où elle est décroissante. Ces résultats sont résumés dans un tableau de variation. Exemple : soit f(x)=x² La fonction est décroissante sur ]-∞;0] et est croissante sur [0;+∞[

3).Extremum d'une fonction sur un intervalle.

Dire que f(a) est le maximum de f sur I signifie que, pour tout réel x de I, f(x) ≤ f(a). Dire que f(a) est le minimum de f sir I signifie que, pour tout réel x de I, f(a) ≤ f(x). A(a;b) Є Cf si et seulement si f(a)=b.

V. Résolution graphique d'équation et d'inéquation

Soient f et g 2 fonctions de courbes respectives Cf et Cg.

1). Équation du type f(x)=k ou f(x)=g(x)

Résoudre f(x)=k -Les solutions de l'équation f(x)=k sont les abscisses des points d'intersection de la courbe Cf avec la droite d'équation y=k. S= {a;b} -Les solutions de l'équation f(x)=g(x) sont les abscisses des points d'intersection de Cg et Cf. S={a;b} Inéquation de type f(x)>k ou f(x)<k ou f(x)≥k ou f(x)≤k ou f(x)>g(x) ou f(x)<g(x) ou f(x)≥g(x) ou f(x)≥g(x) -Les solutions de l'inéquation f(x)>k sont les abscisses des points de la courbe Cf strictement au dessus de la droite d'équation y=k -Les solutions de l'inéquation f(x)<k sont les abscisses des points de la courbe Cf strictement en dessous de la droite d'équation y=k -Les solutions de l'inéquation f(x)≥k sont les abscisses des points de la courbe Cf au dessus de la droite d'équation y=k -Les solutions de l'inéquation f(x)≤k sont les abscisses des points de la courbe Cf en dessous de la droite d'équation y=k -Les solutions de l'inéquation f(x)>g(x) sont les abscisses des points de la courbe Cf strictement au dessus de Cg -Les solutions de l'inéquation f(x)<g(x) sont les abscisses des points de la courbe Cf strictement en dessous de Cg -Les solutions de l'inéquation f(x)≥g(x) sont les abscisses des points de la courbe Cf au dessus de Cg -Les solutions de l'inéquation f(x)≤g(x) sont les abscisses des points de la courbe Cf en dessous de Cg

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Olivier

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Mandé Issouf
Mandé Issouf
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30 Oct.

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