Théorème

Soit une base.
Soient et deux vecteurs non nuls de coordonnées respectives (x ; y) et (x' ; y')

et sont colinéaires si et seulement si xy' – yx' = 0

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C'est parti

Démonstration

  • On suppose que et sont colinéaires.
    Il existe un réel k tel que = k
    a pour coordonnées (x' ; y')
    a pour coordonnées (x ; y)
    k (kx ; ky)

    xy' – yx' = x (ky) – y (kx)
    = xky – ykx
    = 0

  • On suppose que xy' – yx' = 0
    Montrons que et sont colinéaires.
    étant non nul, l'une au moins de ses coordonnées n'est pas nule.
    par exemple : x ≠ 0
    Alors : xy' – yx' = 0
    xy' = yx'
    (car x ≠ 0)
    Donc et sont colinéaires.

Exemple :

Dans la base

On note

et sont ils colinéaires ?

xy' – yx' ≠ 0

Donc et ne sont pas colinéaires.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !