Comment faut-il procéder pour résoudre ce type de problème ?

Définition

Tout système de la formes avec (a ; b) ≠ (0 ; 0) (a et b ne sont pas tous les deux nuls).

Tout système de cette forme est appelé système de deux équations à deux solutions.

Résoudre le système, c'est trouver tous le couples (x ; y) vérifiant simultanément les deux équations.

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Systèmes linéaires

Nous nous proposons d'étudier graphiquement le système (S)

Cas usuel : b ≠ 0 et b' ≠ 0

Alors l'équation ax + by = c est équivalente à : [1].

De même l'équation a'x + b'y = c' est équivalent à : [2].

Choisissons un repère, et notons d et d' les droites dont les équations réduites sont respectivement les équations [1] et [2].

Dire que les coordonnées (u ; v) d'un point M sont solutions du système (S) signifie que et que , donc que M est un point de d et un point de d'.

Ainsi résoudre le système (S) revient à chercher les points communs à d et à d'. Or, trois cas et trois seulement, peuvent se présenter :

  • d et d' sont sécantes, alors (S) a une solution et une seule ;
  • d et d' sont parallèles et distinctes, alors (S) n'a pas de solution ;
  • d et d' sont confondues, alors (S) a une infinité de solutions.

D'après le théorème 3, dire que d et d' sont parallèles équivaut à dire qu'elles ont même coefficient directeur, donc que , ce qui équivaut à ou encore à ab' – a'b = 0.

Par suite, "d et d' sont sécantes" équivaut à ou à ab' – a'b ≠ 0.

Solutions du système

 

ab' – a’b ≠ 0

une solution unique

ab' – a’b = 0

aucune solution

une infinité de solutions

Si (S) a un seul couple solution : pour trouver ce couple, on résout le système par substitution ou par combinaison.

Cas b = 0 ou b' = 0

Alors, l'une des droites d et d', au moins, est parallèle à l'axe des ordonnées.

(Par exemple si b = 0, ax + by = c devient ax = c et , avec a ≠ 0).

Il est aisé dans ce cas de savoir si d et d' sont sécantes, ou parallèles disjointes, ou confondues.

Exemple :

(S)

ab' – a'b est le déterminant

D ≠ 0 donc le système admet une solution unique.
Le couple solution se détermine en résolvant le système par substitution ou par combinaison.

On résout (S) par combinaison :

On ajoute membre à membre les deux équations :

(S) ⇔

On ajoute membre à membre.

La solution du système est le couple

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Olivier

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