Comment résoudre une équation du second degré ?

Définition

Une équation du second degré a pour forme générale ax²+bx+c=0.

Pour résoudre ce type d'équations en cours de maths seconde, il existe plusieurs méthodes.

Une équation du second degré peut avoir 0, 1 ou 2 solutions.

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Méthodes pour résoudre une équation du second degré

Si le membre du côté gauche est identité remarquable :

Exemple 1 :

Résoudre x²-16 = 0

Ici on reconnaît d'ailleurs l'identité remarquable « a²-b² » qui permet de factoriser le premier membre du calcul sous la forme « (a-b)(a+b)»

On obtient alors :

(x+4)(x-4) = 0

La forme obtenue est appelée équation-produit.
Pour résoudre cette équation-produit, on applique la règle suivante : Un produit de facteurs est nul si l'un au moins des facteurs est nul.

Donc
x+4=0 et ainsi x=-4

ou

x-4=0 et ainsi x=4

L'équation à deux solutions : S={-4 ;-4}

Exemple 2 :

Résoudre 3x²-12x+12=0

On met « 3 » en facteur dans les trois membres, ce qui fait aparaître l'identité remarquable « a²-2ab+b² »
3(x²-4x+4)=0

On factorise grâce à l'identité remarquable ci-dessus, ce qui permet d'obtenir une équation-produit.
3(x-2)² = 0
3(x-2)(x-2) = 0

On résout l'équation-produit, qui a une solution :
(x-2)=0
x=2

L'équation a une seule solution :
S={2}

Si le membre du côté gauche a une racine évidente

Exemple  :

Résoudre x²+x-2=0

on constate que si on remplace x par 1, l'égalité est vérifiée :

1² + 1 - 2 = 0

1 est une solution évidente de l'équation. On peut donc factoriser le membre de droitepar (x-1)

x²+x-2=(x-1)(Ax+B)

Si on redéveloppe (x-1)(Ax+B) pour obtenir x²+x-2, on voit que x²+x-2=(x-1)(x+2)

Donc (x-1)(x+2)=0

Donc (x-1)=0 ou (x+2)=0

Donc x=1 ou x=-2

Cas général

Méthode utilisant la forme canonique. >> voir le document

Méthode utilisant le discriminant.

Cas particulier

Exemple :

résoudre x²-8x+7=6-8x

On place tous les nombres à gauche de l'équation et on réduit le calcul.
x²-8x+8x+7-6=0
x²+1=0

On ne peut factoriser le côté gauche car on n'a ni facteur commun, ni identité remarquable. On a une somme de deux carrés : La somme de deux nombres positifs est toujours strictement positive.
Donc pour tout réel x, x²+1#0
L'égalité est impossible. L'équation n'a donc aucune solution :

S= Ø

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Olivier

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Perez
Perez
Invité
3 Nov.

Bonjour,
Est-ce possible de résoudre cette équation du second degré sans utiliser la méthode des discriminants 3×2+6x-48=15?

Thomas
Thomas
Éditeur
9 Juin.

Bonjour, on peut, lorsque l’on reconnaît une identité remarquable !
Bonne journée !