Géométrie plane

Les parallélogrammes

Propriétés

Soit A,B,C,D quatre points du plan. Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme si et seulement si :

  • Les segments [AC] et [BD]  se coupent en leur milieu
  • Il s'agit d'un trapèze dont les deux cotés parallèles sont de longueur égales
  • Les angles opposés deux à deux sont égaux
  • La somme des deux angles consécutifs  est égal à 180 degrés

A noter qu'il suffit qu'une seule de ces conditions soient respectées pour que le quadrilatère ABCD soit considéré comme un parallélogramme.

Qu'est-ce qu'un parallélogramme ? Schéma d'un parallélogramme

Comme affiché sur le schéma du parallélogramme :
  • Les cotés [AB] [CD] et [AC][BD] ont respectivement des côtés égaux deux à deux
  • Les angles widehat{CAB},   widehat{CDB} et widehat{ACD},    widehat{DBA} sont égaux
  • Les segments [AD] et [CB] se coupent en leur milieu
  • La somme des angles widehat{BAC}widehat{ACD} tout comme la somme des angles widehat{ACD}widehat{CDB} et ainsi de suite est égale à 180 degrés.

 

Mesures caractéristiques

Le périmètre d'un parallélogramme représente la valeur de la longueur du contour du parallélogramme. Pour le calculer, il suffit d'effectuer la somme de l'ensemble des côtés, à savoir [AC] + [CD] + [DB] + [BA]. Or les propriétés d'un parallélogramme font que les côtés [AB][CD] et [AC][BD] sont égaux. On peut donc calculer le périmètre du parallélogramme comme étant ([AC] + [AB])*2 (dans l'image du parallélogramme ci-dessus). L'aire d'un parallélogramme représente l'ensemble du contenu situé à l'intérieur. Il est calculé en prenant en compte deux longueurs caractéristiques :

  • La base B du parallélogramme qui représente une longueur
  • La hauteur H du parallélogramme représenté dans le graphique ci-dessous (de valeur 4 dans notre exemple).

L'aire est ainsi égale à Aire(ABCD) = H*B

A quoi ressemble un parallélogramme ? Exemple de longueurs d'un parallélogramme

Exemple

On souhaite calculer l'aire et le périmètre du parallélogramme ci-dessus. Le périmètre est égal à ([AB] + [CB])*2 = (6 + 5) * 2 = 11*2 = 22. L'aire est égal à B*H = 6*4 = 24.

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Les vecteurs

Définition

Un vecteur est un segment orienté ayant pour origine un point de départ et pour extrémité un point d'arrivée. On définit un vecteur grâce à ses trois caractéristiques :

  • Une direction : La direction correspond à l'endroit vers lequel le segment se dirige.
  • Un sens : Le sens correspond à un côté ou l'autre, à savoir le sens AB ou le sens AB
  • Une norme : Une norme correspond à une longueur.

Les vecteurs overrightarrow{AB} et overrightarrow{CD} sont de même longueur, ont la même direction et le même sens, ils sont donc égaux. On peut noter overrightarrow{AB} = overrightarrow{CD}

Remarque : Lorsque l'on définit le vecteur overrightarrow{AB}, on note :
  • A est l'origine du vecteur
  • B est l'extrémité du vecteur
  • On peut lui donner un nom différent que le point d'origine et d'extrémité du vecteur, à savoir overrightarrow{u}
  • La norme du vecteur overrightarrow{AB} permet de définir sa longueur et se note ||overrightarrow{AB}||. On a donc ||overrightarrow{AB}|| = AB.

Propriétés

Les vecteurs possèdent les propriétés suivantes (cours de math 3eme) :

  • Soit M un point du segment [AB]. M est le milieu du segment [AB] si et seulement si overrightarrow{AM}overrightarrow{MB}. Il est important de souligner que l'égalité AM = MB ne suffit pas à prouver que M est le milieu du segment [AB]. L'égalité avec les vecteurs est en revanche suffisante pour le prouver.
  • On définit le quadrilatère ABCD comme étant un parallélogramme si et seulement si l'égalité overrightarrow{AB}overrightarrow{DC} est respectée (les lettres ABCD étant dans le même ordre que la deuxième image de ce cours). Attention, concernant les vecteurs pour le quadrilatère ABCD. Il faut que ces vecteurs soient égaux, à savoir même norme, même sens et même direction.
  • La translation d'un vecteur correspond au déplacement de ce dernier tout en conservant le même sens, la même direction et la même norme. La translation est donc forcément un segment parallèle du vecteur translaté.

 

Sommes de vecteur

L'addition de deux vecteurs se définit via la relation de Chasles. Soient 3 points A,B,C d'un plan, on a overrightarrow{AB}overrightarrow{BC}overrightarrow{AC}. Il est intéressant de souligner que l'addition doit se faire obligatoirement avec un point commun aux deux vecteurs : un point doit forcément être l'extrémité d'un vecteur et l'origine d'un autre. Si l'on ajoute un point D au plan, la somme overrightarrow{AB}overrightarrow{CD} ne se simplifie pas. En revanche, grâce à la translation des vecteurs on peut tout de même réussir à calculer cette somme. Il nous suffit alors de translater le vecteur overrightarrow{CD} pour faire coïncider le point B avec le point C. On pourra alors appliquer la relation de Chasles.

Qu'est-ce que la relation de Chasles ? Démonstration de la relation de Chasles

On sait qu'un vecteur est défini par un sens, une direction, et une norme. Le vecteur overrightarrow{AB} a donc la même direction, la même norme mais un sens opposé au vecteur overrightarrow{BA}. On note ainsi :overrightarrow{AB} = -overrightarrow{BA}.

Produits de vecteur

Soit overrightarrow{AB}  un vecteur du plan, et soit k un nombre appartenant à R. Si k est un nombre réel positif :

  • Le vecteur koverrightarrow{AB} est de même direction que le vecteur overrightarrow{AB}
  • Le vecteur koverrightarrow{AB} est de même sens que le vecteur overrightarrow{AB}
  • Le vecteur koverrightarrow{AB} est de longueur k*||overrightarrow{AB}||

Si k est un nombre réel négatif :

  • Le vecteur koverrightarrow{AB} est de même direction que le vecteur overrightarrow{AB}
  • Le vecteur koverrightarrow{AB} est de sens opposé au vecteur overrightarrow{AB} et par conséquent de même sens que le vecteur overrightarrow{BA}
  • Le vecteur koverrightarrow{AB} est de longueur k*||overrightarrow{AB}||

On définit deux vecteurs colinéaires overrightarrow{AB} et overrightarrow{CD} s'il existe un nombre réel k tel que koverrightarrow{AB} = kkoverrightarrow{CD} ou s'il existe un réel k' tel que koverrightarrow{CD}k'overrightarrow{AB}. Deux vecteurs sont donc colinéaires lorsqu'ils sont de même direction, de même sens ou de sens opposés (lorsque k est négatif) mais de longueur différente.

Qu'est-ce que des vecteurs colinéaires ? Démonstration de deux vecteurs colinéaires

Cette image montre deux vecteurs colinéaires. Les vecteurs u et v sont de même direction (parallèle), de sens opposé et de longueur différentes. On peut donc noter overrightarrow{u} = kkoverrightarrow{v} avec k < 0. Pour tout vecteur koverrightarrow{AB} et koverrightarrow{CD} d'un plan, et pour tout nombre k et k' appartenant à R, on note :

  • k(overrightarrow{AB} + overrightarrow{CD}) = koverrightarrow{AB} + koverrightarrow{CD}
  • (k+k')overrightarrow{AB} = koverrightarrow{AB} + k'overrightarrow{AB}
  • k(k'overrightarrow{AB}) = (kk')overrightarrow{AB}

 

Exemple

Soient les points A(-2;−3), B(9,5), C(1,−4),D(56,x) overrightarrow{AB} = (xb-xa,yb-ya) et overrightarrow{CD} = (xd-xc,yd-yc) overrightarrow{AB} = (9-(-2);5-(-3)) = (11;8) overrightarrow{CD} = (56-1;x-(-4)) = (55;x+4) Pour que les vecteurs soient colinéaires, il faut trouver un facteur tel que overrightarrow{AB} = koverrightarrow{CD} On remarque que pour les abscisses, on trouve un facteur 5. On va donc essayer de trouver le même facteur pour les ordonnées. 5overrightarrow{AB} = overrightarrow{CD} D'où 5*8 = x+4 Leftrightarrow 40 = x+4 Leftrightarrow x = 36 Les vecteurs AB et CD sont donc colinéaires si et seulement si x = 36.

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