Définition

La fonction carrée est définie sur R par f (x) = x2

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Sens de variation

Avec la calculatrice, on observe que f semble décroissante sur R– et croissante sur R+.

Propriété :

La fonction carrée est décroissante sur ] –∞ ; 0 ] et croissante sur [ 0 ; +∞ [

Démonstration :

  • sur [ 0 ; +∞ [

Soient a et b deux réels de [ 0 ; +∞ [ tels que a < b

0 ≤ a < b
f (a) – f (b) = a2 – b2
= (a – b)(a + b)

On sait que : a < b donc a – b < 0
0 ≤ a < b donc a + b > 0

On en déduit que f (a) – f (b) < 0
donc f (a) < f (b)

On a montré que f est croissante sur [ 0 ; +∞ [.

  • sur ] –∞ ; 0 ]

Soient a et b deux réels de ] –∞ ; 0 ] tels que a < b

a < b ≤ 0
f (a) – f (b) = a2 – b2
= (a – b)(a + b)

On sait que : a < b donc a – b < 0
a < b ≤ 0 donc a + b < 0

On en déduit que f (a) – f (b) > 0
donc f (a) > f (b)

On a montré que f est décroissante sur ] –∞ ; 0 ].

Tableau de variation :

f admet en x0 = 0 un minimum égal à 0.

Représentation graphique

x –3 –2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
f (x) 9 6,25 4 2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9

Propriété :

La courbe admet un axe de symétrie qui est l'axe des ordonnées.

Quel que soit le réel x, f (–x) = f (x)
On dit que la fonction est paire.

Résolution graphique

  • de l'équation x2  = 4

On trace la droite d'équation y = 4.

Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de f et de (d).

  • de l'équation x2 < 1

On trace la droite (d') d'équation y = 1.

Les solutions sont les abscisses des points de f situés en dessous de la droite (d').

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !