Définition

Définition 1 :

Deux vecteurs sont et non nuls sont colinéaires s'il existe un réel k non nul tel que = k

Remarques :

  • Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement s'ils ont la même direction.
  • Le vecteur est colinéaire à tout vecteur du plan.

Définition 2 :

Soient A et B deux points distincts d'une droite.
Le vecteur est UN vecteur directeur de la droite ( AB ).

Remarques :

  • Si est un vecteur directeur de ( AB ), est aussi un vecteur directeur de cette droite.
  • Une droite admet une infinité de vecteurs directeurs tous colinéaires deux à deux.

Théorèmes

Théorème 1 :

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs qui sont colinéaires.

Théorème 2 :

Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs et sont colinéaires.

Démonstration :

  • Soient A, B, C trois alignés de (d) et sont deux vecteurs directeurs de (d), donc et sont colinéaires.
  • On suppose que et sont colinéaires.
    D'après le théorème 1, ( AB ) et ( AC ) sont parallèles.
    Or A ∈ ( AB )
    A ∈ ( AC )
    Donc les droites ( AB ) et ( AC ) sont confondues ce qui prouve que A, B et C sont alignés.

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