Hauteur et orthocentre

Définition :

L'orthocentre H du triangle ABC est le point de concours des trois hauteurs du triangle.

Propriété :

Aire du triangle ABC :

Conséquences :

  • En calculant l'aire avec chacune des
    trois hauteurs, on obtient les égalités :

    AK × BC = BL × AC = CJ × AB

  • L'aire d'un triangle reste constante si l'on déplace un sommet parallèlement au côté opposé :
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Médianes et centre de gravité

Définition :

Le centre de gravité G du triangle ABC est le point de concours des trois médianes du triangle.

Médiatrices et cercle circonscrit

Définition :

Le point de concours O des trois médiatrices d'un triangle ABC est le centre du cercle circonscrit au triangle.

Propriété :

OA = OB = OC

Remarque :

Un point situé sur la médiatrice Δ du segment [AB] est équidistant de A et B.

M ∈ Δ   ⇔   MA = MB

Bissectrice et cercle inscrit

Définition :

Le point de concours I des trois bissectrices est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.

Propriété :

IP = IQ = IR

Remarque :

Un point situé sur la bissectrice d'un angle est équidistant des deux côtés de l'angle :

M ∈   ⇔   MQ = MR.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !