Les intervalles réels sont des sous-ensembles (ou des parties) de l'ensemble des réels . Leur grande particularité est qu'ils sont "continus". C'est-à-dire que le chemin entre deux éléments d'un intervalle reste dans cet intervalle. Leur représentation sur la droite numérique est un segment ou une droite dont les extrémités peuvent être exclues. C'est d'ailleurs ce qui fait qu'un intervalle est ouvert ou fermé.

Les différents types d'intervalles

Dans le tableau ci-dessous, a et b sont deux réels tels que a b.

NotationReprésentation sur la droite réelleEnsemble des réels x tels queAppellation
[a ; b]a x bIntervalle fermé borné
[a ; b[a x < bIntervalle borné semi-fermé en a et semi-ouvert en b (ou semi-fermé à gauche et semi-ouvert à droite)
]a ; b]a < x bIntervalle borné semi-ouvert en a et semi-fermé en b (ou semi-ouvert à gauche et semi-fermé à droite)
]a ; b[a < x < bIntervalle ouvert borné.
]- ; b]x bIntervalle non borné fermé en b (ou fermé à droite)
]- ; b[x < bIntervalle non borné ouvert en b (ou ouvert à droite)
[a ; + [a xIntervalle non borné fermé en a (ou fermé à gauche)
]a ; + [a < xIntervalle non borné ouvert en a (ou ouvert à gauche)

Quelques remarques sur ce tableau

  • La notation {x tels que a < x < b} désigne l'ensemble des réels x tels que a < x < b (sous-entendu qui sont strictement plus grand que a et strictement inférieur à b).
  • Le fait de dire qu'un intervalle est par exemple ouvert en b signifie que le réel b ne fait pas partie de celui-ci. Par contre, s'il y avait été fermé alors il en aurait fait partie.
  • Les deux réels qui délimitent un intervalle sont appelés bornes de l'intervalle.
  • La notation + se lit "plus l'infini". Contrairement à ce que l'on pourrait croire, + n'est pas un nombre. C'est juste un symbole pour désigner le "bout positif et infiniment grand" de l'ensemble des réels. C'est une sorte d'horizon...
  • La notation - se lit elle "moins l'infini".

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !

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