Comment simplifier une expression ?

Décomposer en facteurs premiers numérateur et dénominateur.

Principe

Appliquez la méthode 5 au numérateur et au dénominateur puis simplifiez.

(décomposez par exemple 8 en 2 * 2 * 2, 54 en 2 * 3 * 3 * 3, puis éliminez !).

Superprof

Exemple

Simplifier "le plus possible" les fractions suivantes :

a) 432/192

b) 540/81

a) On décompose en facteurs premiers 432 (432 = 24 * 33) puis 192 (192 = 26 * 3) ce qui donne :

432/192 = (24*33)/(26*3) = 32/22 = 9/4

b) De même : 540/81 = (22*33*5)/34 = (22*5)/3 = 20/3

Déterminer le PGCD du numérateur et du dénominateur.

Principe

Là,
on fait appel à vos souvenirs de troisième, c'est à dire à l'algorithme
d'Euclide. Dans cet algorithme qui consiste à effectuer des divisions
euclidiennes successives, le PGCD est le dernier reste non nul.

Ensuite en divisant numérateur et dénominateur par ce PGCD obtenu, on obtient une fraction irréductible cherchée !

Exemple : (432)/(192)

Effectuons la division euclidienne de 432 par 192 ( c'est à dire avec le reste qu'on obtient). On obtient : 432 = 2 * 192 + 48.

Effectuons ensuite la division euclidienne de 192 par 48, on obtient : 192 = 4 * 48 + 0.

La division donne un reste nul, le dernier reste non nul est donc 48 : et donc PGCD(432.192) = 48.

On divise donc le numérateur et le dénominateur par 48, ce qui donne : 432/192 = (48*9)/(48*4) = 9/4. Terminé !

Simplifier petit à petit

Principe

Divisez
(le plus possible ) numérateur et dénominateur par 2 puis par 3, puis
par 5, ... à la fin vous obtiendrez la simplification souhaitée !

Inconvénient de cette méthode : c'est parfois un peu long !

Exemple

a) 1104/716

b) 21603/144

a) 1106/716 = 552/358 = 276/179

b) 21603/144 = (3*7201)/(3*48) = 7201/48

Utiliser les règles sur les fractions.

Principe

Il s'agit d'utiliser les règles suivantes, pour a ≠ 0, b ≠0, c ≠0, d ≠ 0. (Je vous conseille de les ré-écrire sur un papier)

a) 1/(a/b) = b/a

b) (a/b)/(c/d) = (a/b)*(d/c) = (a*d)/(b*c)

c) (a/b)/c = (a/b) * (1/c) = a/(b*c)

d) a/(b/c) = a* (c/b) = (a*c)/b

Utiliser les règles sur les puissances.

Principe

On utilise les règles suivantes, pour a ≠ 0, b ≠ 0 (et n, m entiers) :

a) a0 = 1

b) a-n = 1/(an)

c) anam = an+m

d) (an)/(am) = an-m

e) (an)m = anm

f) (ab)n = anbn

g) (a/n)n = (an)/(bn)

Utiliser les règles sur les radicaux.

Principe

On utilise les règles suivantes :

a) √ab = √a * √b

b) √(a/b) = (√a)/(√b) (si b ≠ 0)

Il est utile de bien connaître les racines carrées suivantes :

a

0

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

121

144

169

196

225

256

√a

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

a

1

100

10.000

1.000.000

0.01

0.0001

0.000001

√a

1

10

100

1000

0.0

0.01

0.001

 Utiliser la notation scientifique.

Principe

L'écriture sous la forme a•10n (voir Méthode 2) permet souvent de simplifier des expressions.

Utiliser l'expression conjuguée.

 Principe

L'expression conjuguée de √a -√b est √a + √b (bien sûr celle de √a +√b est √a - √b).

Ensuite, on utilise le fait que (√a +√b)(√a - √b) =(√a)² - (√b)² = a-b

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Olivier

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