Comment comprendre cette notion mathématique ?

Définition

La distance entre deux réels x et y est la différence entre le plus grand et le plus petit.

Cette distance entre deux réels est toujours un nombre positif.

Exemple :

a = 1
b = 4
c = –1

AB = 4 – 1 = 3
BC = 4 – (–1) = 5

Superprof

Valeur absolue d'un réel

Définition :

La valeur absolue d'un réel x notée | x | (on lit "valeur absolue de x") est la disance entre x et 0.

Exemples :

  • | 5 | = 5
  • |–9 | = 9
  • | π – 4 |
    π – 4 < 0
    donc | π – 4 | = –(π – 4)
    = 4 – π

Remarques :

  • Tout nombre a une valeur absolue.
  • Une valeur absolue est toujours positive.
  • d (A ; B) = AB = | b – a |

Propriétés

Propriété 1 :

| x | = 0 équivaut à x = 0

Propriété 2 :

Pour tout réel x, | –x | = | x |

Démonstration :

x et –x sont à la même distance de 0.

Propriété 3 :

Pour tous réels x et y,

| x | = | y | équivaut à x = y ou x = –y.

Démonstration :

Si | x | = | y |, alors x et y sont à la même distance de 0 donc ils sont égaux ou opposés.

Propriété 4 :

Soit r un réel positif.

| x – a | ≤ r signifie que x ∈ [ a – r ; a + r ]

Démonstration :

| x – a | ≤ r signifie d (x ; a) ≤ r

c'est à dire x ∈ [ a – r ; a + r ]

Remarques :

  • | x – a | < r signifie que x ∈ ] a – r ; a + r [
  • | x | ≤ r signifie que x ∈ [ –r ; r ]

Exemples :

  • | x | < 2 signifie  x ∈ ] –2 ; 2 [
  • | x + 2 | < 5
    a = –2 et b = 5
    | x + 2 | < 5 signifie x ∈ ] –7 ; 3 [

Propriété 5 :

Soit r un réel positif. x ∈ ] a – r ; a + r [

| x – a | ≥ r signifie que x ∈ ] –∞ ; a – r ] ∪ [ a + r ; +∞ [

Démonstration :

Puisque | x – a | < r signifie que x ∈ ] a – r ; a + r [
alors | x – a | ≥ r signifie que x ∈ ] –∞ ; a –r ] ∪ [ a + r ; +∞ [

Exemples :

  • | x – 2 | > 3 signifie x ∈ ] –∞ ; 2 – 3 ] ∪ [ 2 + 3 ; +∞ [
    Donc x ∈ ] –∞ ; –1 ] ∪ [ 5 ; +∞ [
  • | x | ≥ 4
    | x | = d (x ; 0)
    signifie x∈ ] –∞ ; –4 ] ∪ [ 4 ; +∞ [

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Olivier

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