Nombres et images : généralités

Chapitre 1: Généralités sur les fonctions

1- Notions de fonction

Dispositif: Un poids est suspendu à un fil de longueur L. Ecartons le de sa position d'équilibre. Il se met à osciller.

On appelle T la « période » du mouvement, c'est-à-dire le temps nécessaire pour faire un aller-retour.

T dépend de L, mais pour de la masse ni de l'amplitude. (cette loi fut découverte par Galilée en 1600).

Voici un tableau représentant la variation de L en fonction de T:

L (en m)

0,8

1,5

1,7

1,9

T (en sec)

1,75

2,4

2,55

2,7

3,06

5,76

6,5

7,29

T²/L

3,8

3,8

3,8

3,8

On remarque que: - Le doublement de la longueur n'entraîne pasla doublement de la période.

  • La période n'est donc pas proportionnelle à la longueur.

  • Toutes les colonnes de la dernière ligne sont remplies par 3,8.

On en déduit que: T²/L = 3,8 T² = 3,8L T= 3,8

Cette relation encadrée nous permet de définir un fonction f telle que

f(x)=Racine de 3,8x.

A chaque valeur de la longueur N correspond une unique valeur de la période T.

Si, sur un graphique, la valeur de L variait entre 0 et 2, on dirait que le domaine de définition de la fonction f est ici l'intervalle [0;2].

Définition: L'ensemble de définition d'une fonction peut être donné par l'énoncé. Sinon, il faut chercher l'ensemble de tous les nombres x qui ont une image par f. Ici, l'ensemble de définition est [-2;4].

La courbe Cf représentant une fonction f sur son ensemble de définition D est l'ensemble des points M de coordonnées (x;f(x)) , soit (x;y) avec x appartient à D.

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2- Variations:

Lorsque la courbe monte, la fonction est croissante.

Lorsque la courbe descend, la fonction est décroissante.

Certaines fonctions sont ni croissante ni décroissantes. On les appelle les fonctions pas monotones.

De manière générale, une fonction f est croissante sur un intervalle I lorsque 2 nombres quelconques de I sont rangés dans le même ordre qque leurs images.

Exemple:

Ici, x1<x2, car="" donc="" est="" fonction="" font="" la=""></x2,>

<x2, car="" donc="" est="" fonction="" font="" la="">

A l'inverse, une fonction décroissante inverse l'ordre.

Exemple:

Ici x1<x2, mais="">f(x2) car la fonction est déécroissante.</x2,>

<x2, mais="">

Remarque: On représente une valeur interdite dans un tableau par un double barre.

3- Domaine de définition

C'est l'ensemble des nombres dont on peut calculer l'image. On le trouve en retirant aux nombres réels toutes les valeurs interdite. On l'a déjà vu plus haut. Cependant ici arrivent les valeurs interdites.

Exemple: Si f(x) = x-1/x+1, Le dénominateur ne doit pas s'annuler.

Comme x+1 = 0 lorsque x = -1, la valeur interdite de x est ici -1. (Diviser un nombre par zéro est impossible.

Le domaine de définition Df s'écrit Df = ]R - {-1}

Si g(x) = Racine de (x+3), alors l'expression sous la racine carrée doit être > ou égale à 0. Donc x doit être supérieur à -3. Les nombres inférieurs à 3 sont des valeurs interdites.

4- Les ensembles de nombres

Les nombres comme 5; -4; Pi; Racine de 2; -4,6; 12/7...

Tous ces nombres sont réels. On les note Ʀ. Parmi les nombres réels, on distingue les ensembles suivants:

  • Les entiers naturels: 0;1;2;3;4;5... Leur ensembles se note ₦

  • Les entiers relatifs: -2; -1;0;1;2... Leur endemble est noté Ẕ

  • Les nombres décimaux: ce sont les nombres qui peuvent s'écrire avec un nombre finis de chiffres après la virgule. Leur ensemble se note Ḏ

Ainsi, 9,42 appartient à D. Mais 2/3 n'appartient pas à D.

  • Les nombres rationnels: ce sont les nombresque l'on peut écrire sous forme de fraction. Leur ensemble est noté Q.

  • Les nombres irrationnels: Ce sont ceux qui ne sont pas rationnels.

(Voir ensemble des nombres)

</x2,></x2,>

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Olivier

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