Cours de mathématique

Images, antécédents

Comme on l'a vu en 3ème, une fonction c'est une machine à qui on donne des nombres et qui en ressort des autres. Prenons la fonction , donnons lui les nombres 0, 1, 4, 9 et voyons ce qu'elle nous ressort.

Cela nous permet de tracer son graphique :

1 est l'image par la fonction f du nombre 4.
9 est un antécedent de 2 par la fonction f.

N'oublie pas que les x se lisent sur l'axe des abscisses (horizontal) et que les valeurs de f(x) se lisent sur l'axe des ordonnées. Si on veut résoudre graphiquement l'équation , il faut chercher tous les x sur l'axe des abscisses tels que . Pour cela on peut tracer une droite horizontale de hauteur 1 et regarder pour quelles valeurs de x la droite et la courbe se croisent. Résoudre une telle équation, c'est la même chose que chercher les antécédents par f de 1.

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Ensemble de définition

Attention : on ne peut pas toujours calculer le nombre que la fonction va nous retourner. Par exemple, pour

on ne peut pas calculer f(2) car il est impossible de diviser par zéro :

Plus le nombre en bas est proche de zéro, plus le résultat est grand. En fait quand on divise par zéro, le résultat c'est l'infini et comme l'infini n'est pas un nombre on dit qu'il est impossible de diviser par zéro.
L'ensemble des valeurs de x telles que l'on puisse calculer f(x) est appellé l'ensemble de définition de la fonction. Pour la fonction ,. Ce sont tous les nombres sauf le nombre 2.
Pour notre fonction , . Ce sont tous les nombres positifs (on ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif).

Variation de fonction

Une fonction croissante est une fonction dont la représentation graphique monte. Dans ce cas si on prend deux nombres a<b sur l'axe des abscisses, on a f(a)<f(b) sur l'axe des ordonnées :Une fonction décroissante est une fonction dont la représentation graphique descend. Dans ce cas si on prend deux nombres a<b sur l'axe des abscisses, on a f(a)>f(b) sur l'axe des ordonnées :

Parité

Il y a encore des efforts à faire dans ce domaine. Plus sérieusement :

Une fonction paire est une fonction dont le graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (axe vertical). Dans ce cas, pour tout nombre x, on a . Les 2 images sont à la même hauteur.
Une fonction impaire est une fonction dont le graphique est symétrique par rapport à l'origine du repère (le point 0). Dans ce cas, pour tout nombre x, on a .

Fonction carrée

La fonction carrée est la fonction .

x
-2
-1
0
1
2
f(x)
4
1
0
1
4

Sa courbe représentative est appellée une parabole. Elle est décroissante puis croissante. Elle est paire :

Fonction inverse

La fonction inverse est la fonction f(x) = 1/x.

x
- 2
- 1
-1/2
1/2
1
2
1/x
-1/2
-1
-2
2
1
1/2

Sa courbe représentative est appellée une hyperbole. Elle est toujours décroissante. Son ensemble de définition est . Elle est impaire :

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Olivier

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