Formules essentielles

I. Etude de la fonction élévation au carré.

Légende : (-  = appartient   ;   R = Ensemble des réels    oo = infini

. F est définie par f(x) = x²

D= R (Df est l'ensemble de définition de F)

Remarque : Toutes les images seront dans R+
. Deux nombres opposés ont la même image (opposés = -2 et 2, a ne pas confondre avec inverse !)
Pout tout x (- R        f(x) = f(-x)

. Sens de variation :

# F est strictement croissante sur R+

a (-  R+   b (-  R+

Avec  a<b

f(a) - f(b) = a² - b² = (a+b) (a-b)

si a<b alors f(a) - f(b) < 0

si a<b alors f(a) < f(b)

# étude sur R

a (-  R-               b  (-  R-

a<b

F est strictement décroissante sur R-

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II- Etude de la fonction inverse :

Définition :

- Il s'agit de la fonction f : x ==>  1/x

- 0 n'a pas d'inverse : Df = R* ( ou Df = R\ {0} )

- S  x (- Df   f(x) = 1/x

= 1/-x = -1/x = - f(x)

 

Deux x opposés ont des images opposés

-Sens de variation

a) x ==> 1/x est décroissante sur R*+ = ] 0 ; + oo [

En effet :

Soit a (- R*et b (- R*+ aux a< b

f(a) - f(b) = 1/a - 1/b = b/ab - a/ab

= b-a/ab             f(a)-f(b)  > 0

si a<b alors f(a) > f(b)

F est strictement décroissante sur R*+

De même sur R*-

a (- R*-   b (- R*-    a<b

f(a) - f(b)  = b-a/ab

Le graphique de la fonction est appellé Hyperbole.

Exemple d'application :

Résoudre chaque inéquation en s'aidant de la courbe de la fonction inverse.

1/x  ≤ 3/4

x ≥ 4/3  car x --> 1/x est strictement décroissant sur R*-

alors  S = ] - oo ; 0[ U [ 4/3 ; +oo [

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Olivier

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