1) Définition

Soient a et b deux réels tels que a < b.

  • ]a ; b[ = {x ∈ ; a < x < b}

  • [a ; b] = {x ∈ ; a ≤ x ≤ b}

  • [a ; b[ = {x ∈ ; a ≤ x < b}

  • ]a ; b] = {x ∈ ; a < x ≤ b}

  • ]a ; +∞[ = {x∈ ; x > a}

  • [a ; +∞[ = {x∈ ; x ≥ a}

  • ]–∞ ; a[ = {x∈ ; x < a}

  • ]–∞ ; a] = {x∈ ; x ≤ a}
  • ]–∞ ; +∞[ =

  • ]a ; a[ = ∅

  • [a ; a] = {a}

Remarques :

  • [a ; b] est un intervalle fermé.
  • ]a ; b[ est un intervalle ouvert.
  • a et b s'appellent les extrémités ou les bornes de l'intervalle [a ; b].
  • L'amplitude (ou la longueur) de l'intervalle est b - a.
  • Le centre (ou le milieu) de l'intervalle est .
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2) Intersection d'intervalles

Définition :

L'intersection de 2 intervalles I et J est l'ensemble de tous les réels qui appartiennent à la fois à I et à J. On note I ∩ J, on lit "I inter J" l'intersection de I et de J.

Exemples :

  • I = ]–∞ ; 5] et J = [–3 ; +∞[

    I ∩ J = [–3 ; 5]

  • I = ]–3 ; 1] et J = [–2 ; 5]

    I ∩ J = [–2 ; 1]

  • I = ]–5 ; –3] et J = ]–1 ; 7[

    I ∩ J = ∅

  • I = [–2 ; 3[ et J = ]–5 ; 2]
    I ∩ J = {2}
  • + ∩ – = {0}
  • +* ∩ – = ∅

Remarque :

L'intersection de 2 intrevalles est toujours un intervalle (éventuellement ∅)

3) Réunion de 2 intervalles

Définition :

La réunion de 2 intervalles A et B est l'ensemble des réels qui appartiennent à l'un ou à l'autre des 2 intervalles. On note A ∪ B et on lit "A union B" la réunion de A et de B.

Exemples :

  • I = ]∞ ; 3] et J = ]1 ; 5[

    I ∪ J ]–∞ ; 5[

  • I = [–2 ; 5[ et J = ]1 ; 7[

    I ∪ J = [–2 ; 7[

  • I = ]–∞ ; 2] et J = ]1 ; +∞[

    I ∪ J = ]–∞ ; +∞[ =

  • I = ]–3 ; 1[ et J = ]2 ; 7]

    I ∪ J = ]–3 ; 1[ ∪ ]2 ; 7]

Remarque :

La réunion de 2 intervalles n'est pas toujours un intervalle.

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Olivier

Professeur en lycée et classe prépa, je vous livre ici quelques conseils utiles à travers mes cours !