Comment faut-il procéder pour placer correctement un point dans un repère ?

Définitions

  • On appelle base de l'ensemble des vecteurs tout couple de vecteurs non-colinéaires.
  • On appelle repère du plan tout triplé où O est un point du plan et est une base.

Théorèmes :

  • Soit un repère du plan.
    Pour tout point M du plan, il existe un couple unique de réels (x ; y) tel que .
    On dit que M a pour coordonnées (x ; y) dans le repère . x est l'abscisse de M et y est l'ordonnée de M.
  • Pour tout vecteur , il existe un unique couple (x ; y) de réels tel que :
    On dit que a pour coordonnées (x ; y) dans la base .
Superprof

Propriétés

Propriété 1 :

Soient une base, et deux vecteurs de coordonnées respectives (x ; y) et (x' ; y').
Soit k un réel.

  • ssi x = y = 0.
  • ssi x = x' et y = y'
  • a pour coordonnées (x + x' ; y + y') dans la base
  • k a pour coordonnées (kx ; ky) dans la base

Propriété 2 :

Soient un repère du plan,
A (xA ; yA)
B  (xB ; yB) dans .

Alors :

  • a pour coordonnées (xB – xA ; yB – yA)
  • le milieu M de [ AB ] a pour coordonnées :

Démonstration :

A (xA ; yA) dans signifie :

Ce qui prouve que a pour coordonnées :

(xB – xA ; yB – yA)

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Olivier

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